Montrer qu'une fonction est dérivable en un point aa - Exercice 7

10 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx privé de 13\frac{1}{3} par : f(x)=51−3xf\left(x\right)=\frac{5}{1-3x}
Question 1

Montrer que ff est dérivable en 00.

Correction
ff est dérivable en aa si la limite du taux de variation en aa lorsque hh tend vers 00 est égale à une valeur finie\red{\text{valeur finie}} notée f′(a)f'\left(a\right). Autrement dit, ff est dérivable en aa si :
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} =f'\left(a\right)

1ère étape : On calcule f(0)f\left(0\right)
f(0)=51−3×0f\left(0\right)=\frac{5}{1-3\times 0} d'où f(0)=5f\left(0\right)=5
2ème étape : On calcule f(0+h)f\left(0+h\right)
f(0+h)=51−3×(0+h)f\left(0+h\right)=\frac{5}{1-3\times \left(0+h\right)}
f(0+h)=51−3hf\left(0+h\right)=\frac{5}{1-3h}
3ème étape : On calcule f(0+h)−f(0)f\left(0+h\right)-f\left(0\right)
f(0+h)−f(0)=51−3h−5f\left(0+h\right)-f\left(0\right)=\frac{5}{1-3h} -5
f(0+h)−f(0)=51−3h−5(1−3h)1−3hf\left(0+h\right)-f\left(0\right)=\frac{5}{1-3h} -\frac{5\left(1-3h\right)}{1-3h}
Nous allons tout mettre au même dénominateur.
f(0+h)−f(0)=5−5(1−3h)1−3hf\left(0+h\right)-f\left(0\right)=\frac{5-5\left(1-3h\right)}{1-3h}
f(0+h)−f(0)=5−5+15h1−3hf\left(0+h\right)-f\left(0\right)=\frac{5-5+15h}{1-3h}
f(0+h)−f(0)=15h1−3hf\left(0+h\right)-f\left(0\right)=\frac{15h}{1-3h}
4ème étape : On calcule f(0+h)−f(0)h\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}
f(0+h)−f(0)h=(15h1−3h)h\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h} =\frac{\left(\frac{15h}{1-3h} \right)}{h}
(ab)c=ab×1c\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{c} =\frac{a}{b} \times \frac{1}{c}
. f(0+h)−f(0)h=15h1−3h×1h\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h} =\frac{15h}{1-3h} \times \frac{1}{h} On simplifie par hh. f(0+h)−f(0)h=151−3h\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h} =\frac{15}{1-3h}
5ème étape : On calcule lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}
lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0151−3h\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{15}{1-3h}
Cela signifie que l'on remplace tous les hh par zéro.
lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=15.\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h} =15 .

On vient de montrer que la fonction ff est dérivable en 00 et de nombre dérivée f′(0)=15f'\left(0\right)=15.

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