Dérivation

Montrer qu'une fonction est dérivable en un point aa - Exercice 5

10 min
25
COMPETENCES  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Un classique à savoir faire . On considère la fonction ff définie et dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=xf\left(x\right)=\sqrt{x} .

Montrer que ff est dérivable en 99.

Correction
ff est dérivable en aa si la limite du taux de variation en aa lorsque hh tend vers 00 est égale à une valeur finie\red{\text{valeur finie}} notée f(a)f'\left(a\right).
Autrement dit, ff est dérivable en aa si :
limh0f(a+h)f(a)h=f(a)\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} =f'\left(a\right)
1ère étape : On calcule f(9)f\left(9\right)
f(9)=9f\left(9\right)=\sqrt{9} d'où f(9)=3f\left(9\right)=3
2ème étape : On calcule f(9+h)f\left(9+h\right)
f(9+h)=9+hf\left(9+h\right)=\sqrt{9+h}

3ème étape : On calcule f(9+h)f(9)f\left(9+h\right)-f\left(9\right)
f(9+h)f(9)=9+h9f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\sqrt{9+h} -\sqrt{9} .
f(9+h)f(9)=(9+h3)(9+h+3)9+h+3f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{\left(\sqrt{9+h} -3\right)\left(\sqrt{9+h} +3\right)}{\sqrt{9+h} +3} . Nous avons ici multiplié par la quantité conjuguée 9+h+3\sqrt{9+h} +3 .
f(9+h)f(9)=(9+h)2329+h+3f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{\left(\sqrt{9+h} \right)^{2} -3^{2} }{\sqrt{9+h} +3}
f(9+h)f(9)=9+h99+h+3f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{9+h-9}{\sqrt{9+h} +3}
f(9+h)f(9)=h9+h+3f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{h}{\sqrt{9+h} +3}
4ème étape : On calcule f(9+h)f(9)h\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h}
f(9+h)f(9)h=(h9+h+3)h\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{\left(\frac{h}{\sqrt{9+h} +3} \right)}{h}
(ab)c=ab×1c\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{c} =\frac{a}{b} \times \frac{1}{c}
f(9+h)f(9)h=h9+h+3×1h\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{h}{\sqrt{9+h} +3} \times \frac{1}{h}
f(9+h)f(9)h=h9+h+3×1h\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{\red{\cancel{ h}}}{\sqrt{9+h} +3} \times \frac{1}{\red{\cancel{ h}}}
f(9+h)f(9)h=19+h+3\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{9+h} +3}
5ème étape : On calcule limh0f(9+h)f(9)h\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h}
limh0f(9+h)f(9)h=limh019+h+3\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{9+h} +3}
Cela signifie que l'on remplace tous les hh par zéro.
limh0f(9+h)f(9)h=19+0+3\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{9+0} +3}
limh0f(9+h)f(9)h=13+3\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{3 +3}
limh0f(9+h)f(9)h=16\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{6}
On vient de montrer que la fonction ff est dérivable en 99 et de nombre dérivée f(9)=16f'\left(9\right)=\frac{1}{6} .