Montrer qu'une fonction est dérivable en un point $$a$$ - Exercice 5

1^ère étape : On calcule $$f\left(9\right)$$
$$f\left(9\right)=\sqrt{9}$$ d'où $$f\left(9\right)=3$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(9+h\right)$$
$$f\left(9+h\right)=\sqrt{9+h}$$

3^ème étape : On calcule $$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)$$
$$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\sqrt{9+h} -\sqrt{9}$$ .
$$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{\left(\sqrt{9+h} -3\right)\left(\sqrt{9+h} +3\right)}{\sqrt{9+h} +3}$$ . Nous avons ici multiplié par la quantité conjuguée $$\sqrt{9+h} +3$$.
$$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{\left(\sqrt{9+h} \right)^{2} -3^{2} }{\sqrt{9+h} +3}$$
$$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{9+h-9}{\sqrt{9+h} +3}$$
$$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{h}{\sqrt{9+h} +3}$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{\left(\frac{h}{\sqrt{9+h} +3} \right)}{h}$$
$$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{h}{\sqrt{9+h} +3} \times \frac{1}{h}$$
$$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{\red{\cancel{ h}}}{\sqrt{9+h} +3} \times \frac{1}{\red{\cancel{ h}}}$$
$$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{9+h} +3}$$
5^ème étape : On calcule $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{9+h} +3}$$
Cela signifie que l'on remplace tous les $$h$$ par zéro.
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{9+0} +3}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{3 +3}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{6}$$
On vient de montrer que la fonction $$f$$ est dérivable en $$9$$ et de nombre dérivée $$f'\left(9\right)=\frac{1}{6}$$.