Montrer qu'une fonction est dérivable en un point $$a$$ - Exercice 4

1^ère étape : On calcule $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=4\times 1^{2}$$ d'où $$f\left(1\right)=4$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(1+h\right)$$
$$f\left(1+h\right)=4\times \left(1+h\right)^{2}$$
$$f\left(1+h\right)=4\times \left(1+2h+h^{2} \right)$$
$$f\left(1+h\right)=4+8h+4h^{2}$$
3^ème étape : On calcule $$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$$
$$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=4+8h+4h^{2}-4$$
$$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=8h+4h^{2}$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{8h+4h^{2}}{h}$$
On va factoriser le numérateur par $$h$$.
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(4h+8\right)}{h}$$
On simplifie par $$h$$.
. Ici il s'agit donc du taux d'accroissement demandé.
Il ne faut pas faire la $$5$$^ème étape et recherché la limite quand $$h$$ tend vers $$0$$.