Dérivation

Montrer qu'une fonction est dérivable en un point aa - Exercice 4

6 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x2f\left(x\right)=4x^{2} .
Question 1

Montrer que ff est dérivable en 11.

Correction
ff est dérivable en aa si la limite du taux de variation en aa lorsque hh tend vers 00 est égale à une valeur finie\red{\text{valeur finie}} notée f′(a)f'\left(a\right).
Autrement dit, ff est dérivable en aa si :
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} =f'\left(a\right)
1ère étape : On calcule f(1)f\left(1\right)
f(1)=4×12f\left(1\right)=4\times 1^{2} d'où f(1)=4f\left(1\right)=4
2ème étape : On calcule f(1+h)f\left(1+h\right)
f(1+h)=4×(1+h)2f\left(1+h\right)=4\times \left(1+h\right)^{2}
f(1+h)=4×(1+2h+h2)f\left(1+h\right)=4\times \left(1+2h+h^{2} \right)
f(1+h)=4+8h+4h2f\left(1+h\right)=4+8h+4h^{2}
3ème étape : On calcule f(1+h)−f(1)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)
f(1+h)−f(1)=4+8h+4h2−4f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=4+8h+4h^{2}-4
f(1+h)−f(1)=8h+4h2f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=8h+4h^{2}
4ème étape : On calcule f(1+h)−f(1)h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}
f(1+h)−f(1)h=8h+4h2h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{8h+4h^{2}}{h}
On va factoriser le numérateur par hh.
f(1+h)−f(1)h=h(4h+8)h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(4h+8\right)}{h}
On simplifie par hh.
f(1+h)−f(1)h=4h+8\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =4h+8
. Ici il s'agit donc du taux d'accroissement demandé.
Il ne faut pas faire la 55ème étape et recherché la limite quand hh tend vers 00.