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Montrer qu'une fonction est dérivable en un point aa - Exercice 3

10 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx privé de 22 par : f(x)=32x−4f\left(x\right)=\frac{3}{2x-4}
Question 1

Montrer que ff est dérivable en 11.

Correction
ff est dérivable en aa si la limite du taux de variation en aa lorsque hh tend vers 00 est égale à une valeur finie\red{\text{valeur finie}} notée f′(a)f'\left(a\right).
Autrement dit, ff est dérivable en aa si :
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} =f'\left(a\right)
1ère étape : On calcule f(1)f\left(1\right)
f(1)=32−4f\left(1\right)=\frac{3}{2-4} d'où f(1)=−32f\left(1\right)=-\frac{3}{2}
2ème étape : On calcule f(1+h)f\left(1+h\right)
f(1+h)=32×(1+h)−4f\left(1+h\right)=\frac{3}{2\times \left(1+h\right)-4}
f(1+h)=32+2h−4f\left(1+h\right)=\frac{3}{2+2h-4}
f(1+h)=32h−2f\left(1+h\right)=\frac{3}{2h-2}
3ème étape : On calcule f(1+h)−f(1)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)
f(1+h)−f(1)=32h−2−(−32)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3}{2h-2} -\left(-\frac{3}{2} \right)
f(1+h)−f(1)=32h−2+32f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3}{2h-2} +\frac{3}{2}
Nous allons tout mettre au même dénominateur.
f(1+h)−f(1)=3×22×(2h−2)+3×(2h−2)2×(2h−2)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3\times 2}{2\times \left(2h-2\right)} +\frac{3\times \left(2h-2\right)}{2\times \left(2h-2\right)}
f(1+h)−f(1)=3×2+3×(2h−2)2(2h−2)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3\times 2+3\times \left(2h-2\right)}{2\left(2h-2\right)}
f(1+h)−f(1)=6+6h−62(2h−2)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{6+6h-6}{2\left(2h-2\right)}
f(1+h)−f(1)=6h2(2h−2)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{6h}{2\left(2h-2\right)}
On peut simplifier par 22.
f(1+h)−f(1)=3h2h−2f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3h}{2h-2}
4ème étape : On calcule f(1+h)−f(1)h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}
f(1+h)−f(1)h=(3h2h−2)h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{\left(\frac{3h}{2h-2} \right)}{h}
(ab)c=ab×1c\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{c} =\frac{a}{b} \times \frac{1}{c}
.
f(1+h)−f(1)h=3h2h−2×1h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{3h}{2h-2} \times \frac{1}{h}
On simplifie par hh.
f(1+h)−f(1)h=32h−2\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{3}{2h-2}
5ème étape : On calcule lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}
lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→032h−2\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{3}{2h-2}
Cela signifie que l'on remplace tous les hh par zéro.
lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=−32.\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =-\frac{3}{2} .
On vient de montrer que la fonction ff est dérivable en 11 et de nombre dérivée f′(1)=−32f'\left(1\right)=-\frac{3}{2} .