Montrer qu'une fonction est dérivable en un point $$a$$ - Exercice 3

1^ère étape : On calcule $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=3\times 1^{2} +2\times 1-4$$ d'où $$f\left(1\right)=1$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(1+h\right)$$
$$f\left(1+h\right)=3\times \left(1+h\right)^{2} +2\times \left(1+h\right)-4$$
$$f\left(1+h\right)=3\times \left(1+2h+h^{2} \right)+2+2h-4$$
$$f\left(1+h\right)=3+6h+3h^{2} +2+2h-4$$
$$f\left(1+h\right)=3h^{2} +8h+1$$
3^ème étape : On calcule $$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$$
$$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=3h^{2} +8h+1-1$$
$$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=3h^{2} +8h$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{3h^{2} +8h}{h}$$
On va factoriser le numérateur par $$h$$.
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(3h+8\right)}{h}$$
On simplifie par $$h$$.
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =3h+8$$
5^ème étape : On calcule $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} 3h+8$$
Cela signifie que l'on remplace tous les $$h$$ par zéro.
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =8.$$

On vient de montrer que la fonction $$f$$ est dérivable en $$1$$ et de nombre dérivée $$f'\left(1\right)=8$$.