Montrer qu'une fonction est dérivable en un point $$a$$ - Exercice 2

1^ère étape : On calcule $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=2\times 2^{2} -3\times 2+1$$ d'où $$f\left(2\right)=3$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(2+h\right)$$
$$f\left(2+h\right)=2\times \left(2+h\right)^{2} -3\times \left(2+h\right)+1$$
$$f\left(2+h\right)=2\times \left(4+4h+h^{2} \right)-6-3h+1$$
$$f\left(2+h\right)=8+8h+2h^{2} -6-3h+1$$
$$f\left(2+h\right)=2h^{2} +5h+3$$
3^ème étape : On calcule $$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)$$
$$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)=2h^{2} +5h+3-3$$
$$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)=2h^{2} +5h$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\frac{2h^{2} +5h}{h}$$
On va factoriser le numérateur par $$h$$.
$$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\frac{h\left(2h+5\right)}{h}$$
On simplifie par $$h$$.
$$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =2h+5$$
5^ème étape : On calcule $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} 2h+5$$
Cela signifie que l'on remplace tous les $$h$$ par zéro.
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =5.$$
On vient de montrer que la fonction $$f$$ est dérivable en $$2$$ et de nombre dérivée $$f'\left(2\right)=5$$.