f(1)=12=1 2ème étape : On calcule f(1+h) f(1+h)=(1+h)2 f(1+h)=1+2h+h2 3ème étape : On calcule f(1+h)−f(1) f(1+h)−f(1)=1+2h+h2−1 f(1+h)−f(1)=h2+2h 4ème étape : On calcule hf(1+h)−f(1) hf(1+h)−f(1)=hh2+2h On va factoriser le numérateur par h. hf(1+h)−f(1)=hh(h+2) On simplifie par h. hf(1+h)−f(1)=h+2 5ème étape : On calcule h→0limhf(1+h)−f(1) h→0limhf(1+h)−f(1)=h→0limh+2 Cela signifie que l'on remplace tous les h par zéro. h→0limhf(1+h)−f(1)=2. On vient de montrer que la fonction f est dérivable en 1 et de nombre dérivée f′(1)=2.
Exercice 2
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=2x2−3x+1
1
Montrer que f est dérivable en 2.
Correction
1ère étape : On calcule f(2) f(2)=2×22−3×2+1 d'où f(2)=3 2ème étape : On calcule f(2+h) f(2+h)=2×(2+h)2−3×(2+h)+1 f(2+h)=2×(4+4h+h2)−6−3h+1 f(2+h)=8+8h+2h2−6−3h+1 f(2+h)=2h2+5h+3 3ème étape : On calcule f(2+h)−f(2) f(2+h)−f(2)=2h2+5h+3−3 f(2+h)−f(2)=2h2+5h 4ème étape : On calcule hf(2+h)−f(2) hf(2+h)−f(2)=h2h2+5h On va factoriser le numérateur par h. hf(2+h)−f(2)=hh(2h+5) On simplifie par h. hf(2+h)−f(2)=2h+5 5ème étape : On calcule h→0limhf(2+h)−f(2) h→0limhf(2+h)−f(2)=h→0lim2h+5 Cela signifie que l'on remplace tous les h par zéro. h→0limhf(2+h)−f(2)=5. On vient de montrer que la fonction f est dérivable en 2 et de nombre dérivée f′(2)=5.
Exercice 3
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
On considère la fonction f définie pour tout réel x privé de 2 par : f(x)=2x−43
1
Montrer que f est dérivable en 1.
Correction
1ère étape : On calcule f(1) f(1)=2−43 d'où f(1)=−23 2ème étape : On calcule f(1+h) f(1+h)=2×(1+h)−43 f(1+h)=2+2h−43 f(1+h)=2h−23 3ème étape : On calcule f(1+h)−f(1) f(1+h)−f(1)=2h−23−(−23) f(1+h)−f(1)=2h−23+23 Nous allons tout mettre au même dénominateur. f(1+h)−f(1)=2×(2h−2)3×2+2×(2h−2)3×(2h−2) f(1+h)−f(1)=2(2h−2)3×2+3×(2h−2) f(1+h)−f(1)=2(2h−2)6+6h−6 f(1+h)−f(1)=2(2h−2)6h On peut simplifier par 2. f(1+h)−f(1)=2h−23h 4ème étape : On calcule hf(1+h)−f(1) hf(1+h)−f(1)=h(2h−23h)
c(ba)=ba×c1
. hf(1+h)−f(1)=2h−23h×h1 On simplifie par h. hf(1+h)−f(1)=2h−23 5ème étape : On calcule h→0limhf(1+h)−f(1) h→0limhf(1+h)−f(1)=h→0lim2h−23 Cela signifie que l'on remplace tous les h par zéro. h→0limhf(1+h)−f(1)=−23. On vient de montrer que la fonction f est dérivable en 1 et de nombre dérivée f′(1)=−23.
Exercice 4
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=4x2 .
1
Déterminer le taux de variation de f entre 1 et 1+h .
Correction
1ère étape : On calcule f(1) f(1)=4×12 d'où f(1)=4 2ème étape : On calcule f(1+h) f(1+h)=4×(1+h)2 f(1+h)=4×(1+2h+h2) f(1+h)=4+8h+4h2 3ème étape : On calcule f(1+h)−f(1) f(1+h)−f(1)=4+8h+4h2−4 f(1+h)−f(1)=8h+4h2 4ème étape : On calcule hf(1+h)−f(1) hf(1+h)−f(1)=h8h+4h2 On va factoriser le numérateur par h. hf(1+h)−f(1)=hh(4h+8) On simplifie par h.
hf(1+h)−f(1)=4h+8
. Ici il s'agit donc du taux d'accroissement demandé. Il ne faut pas faire la 5ème étape et recherché la limite quand h tend vers 0.
Exercice 5
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
Un classique à savoir faire . On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0;+∞[ par f(x)=x .
1
Montrer que f est dérivable en 9.
Correction
1ère étape : On calcule f(9) f(9)=9 d'où f(9)=3 2ème étape : On calcule f(9+h) f(9+h)=9+h
3ème étape : On calcule f(9+h)−f(9) f(9+h)−f(9)=9+h−9 . f(9+h)−f(9)=9+h+3(9+h−3)(9+h+3) . Nous avons ici multiplié par la quantité conjuguée 9+h+3. f(9+h)−f(9)=9+h+3(9+h)2−32 f(9+h)−f(9)=9+h+39+h−9 f(9+h)−f(9)=9+h+3h 4ème étape : On calcule hf(9+h)−f(9) hf(9+h)−f(9)=h(9+h+3h)
c(ba)=ba×c1
hf(9+h)−f(9)=9+h+3h×h1 hf(9+h)−f(9)=9+h+3h×h1 hf(9+h)−f(9)=9+h+31 5ème étape : On calcule h→0limhf(9+h)−f(9) h→0limhf(9+h)−f(9)=h→0lim9+h+31 Cela signifie que l'on remplace tous les h par zéro. h→0limhf(9+h)−f(9)=9+0+31 h→0limhf(9+h)−f(9)=3+31 h→0limhf(9+h)−f(9)=61 On vient de montrer que la fonction f est dérivable en 9 et de nombre dérivée f′(9)=61.
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