Montrer qu'une fonction est dérivable en un point $$a$$ - Exercice 1

1^ère étape : On calcule $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=1^{2} =1$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(1+h\right)$$
$$f\left(1+h\right)=\left(1+h\right)^{2}$$
$$f\left(1+h\right)= 1+2h+h^{2}$$
3^ème étape : On calcule $$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$$
$$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=1+2h+h^{2}-1$$
$$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=h^{2} +2h$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h^{2} +2h}{h}$$
On va factoriser le numérateur par $$h$$.
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(h+2\right)}{h}$$
On simplifie par $$h$$.
$$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =h+2$$
5^ème étape : On calcule $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} h+2$$
Cela signifie que l'on remplace tous les $$h$$ par zéro.
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =2.$$
On vient de montrer que la fonction $$f$$ est dérivable en $$1$$ et de nombre dérivée $$f'\left(1\right)=2$$.