Dérivation

Montrer qu'une fonction est dérivable en un point aa - Exercice 1

6 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f\left(x\right)=x^{2}

Montrer que ff est dérivable en 11.

Correction
ff est dérivable en aa si la limite du taux de variation en aa lorsque hh tend vers 00 est égale à une valeur finie\red{\text{valeur finie}} notée f′(a)f'\left(a\right).
Autrement dit, ff est dérivable en aa si :
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h} =f'\left(a\right)
1ère étape : On calcule f(1)f\left(1\right)
f(1)=12=1f\left(1\right)=1^{2} =1
2ème étape : On calcule f(1+h)f\left(1+h\right)
f(1+h)=(1+h)2f\left(1+h\right)=\left(1+h\right)^{2}
f(1+h)=1+2h+h2f\left(1+h\right)= 1+2h+h^{2}
3ème étape : On calcule f(1+h)−f(1)f\left(1+h\right)-f\left(1\right)
f(1+h)−f(1)=1+2h+h2−1f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=1+2h+h^{2}-1
f(1+h)−f(1)=h2+2hf\left(1+h\right)-f\left(1\right)=h^{2} +2h
4ème étape : On calcule f(1+h)−f(1)h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}
f(1+h)−f(1)h=h2+2hh\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h^{2} +2h}{h}
On va factoriser le numérateur par hh.
f(1+h)−f(1)h=h(h+2)h\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(h+2\right)}{h}
On simplifie par hh.
f(1+h)−f(1)h=h+2\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =h+2
5ème étape : On calcule lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}
lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0h+2\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} h+2
Cela signifie que l'on remplace tous les hh par zéro.
lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=2.\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =2.
On vient de montrer que la fonction ff est dérivable en 11 et de nombre dérivée f′(1)=2f'\left(1\right)=2.