Montrer qu'une fonction est dérivable en un point $a$

1^ère étape : On calcule $f\left(1\right)$
$f\left(1\right)=1^{2} =1$
2^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)$
$f\left(1+h\right)=\left(1+h\right)^{2}$
$f\left(1+h\right)= 1+2h+h^{2}$
3^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=1+2h+h^{2}-1$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=h^{2} +2h$
4^ème étape : On calcule $\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h^{2} +2h}{h}$
On va factoriser le numérateur par $h$.
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(h+2\right)}{h}$
On simplifie par $h$.
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =h+2$
5^ème étape : On calcule $\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} h+2$
Cela signifie que l'on remplace tous les $h$ par zéro.
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =2.$
On vient de montrer que la fonction $f$ est dérivable en $1$ et de nombre dérivée $f'\left(1\right)=2$.

1^ère étape : On calcule $f\left(2\right)$
$f\left(2\right)=2\times 2^{2} -3\times 2+1$ d'où $f\left(2\right)=3$
2^ème étape : On calcule $f\left(2+h\right)$
$f\left(2+h\right)=2\times \left(2+h\right)^{2} -3\times \left(2+h\right)+1$
$f\left(2+h\right)=2\times \left(4+4h+h^{2} \right)-6-3h+1$
$f\left(2+h\right)=8+8h+2h^{2} -6-3h+1$
$f\left(2+h\right)=2h^{2} +5h+3$
3^ème étape : On calcule $f\left(2+h\right)-f\left(2\right)$
$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)=2h^{2} +5h+3-3$
$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)=2h^{2} +5h$
4^ème étape : On calcule $\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$
$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\frac{2h^{2} +5h}{h}$
On va factoriser le numérateur par $h$.
$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\frac{h\left(2h+5\right)}{h}$
On simplifie par $h$.
$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =2h+5$
5^ème étape : On calcule $\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} 2h+5$
Cela signifie que l'on remplace tous les $h$ par zéro.
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =5.$
On vient de montrer que la fonction $f$ est dérivable en $2$ et de nombre dérivée $f'\left(2\right)=5$.

1^ère étape : On calcule $f\left(1\right)$
$f\left(1\right)=\frac{3}{2-4}$ d'où $f\left(1\right)=-\frac{3}{2}$
2^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)$
$f\left(1+h\right)=\frac{3}{2\times \left(1+h\right)-4}$
$f\left(1+h\right)=\frac{3}{2+2h-4}$
$f\left(1+h\right)=\frac{3}{2h-2}$
3^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3}{2h-2} -\left(-\frac{3}{2} \right)$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3}{2h-2} +\frac{3}{2}$
Nous allons tout mettre au même dénominateur.
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3\times 2}{2\times \left(2h-2\right)} +\frac{3\times \left(2h-2\right)}{2\times \left(2h-2\right)}$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3\times 2+3\times \left(2h-2\right)}{2\left(2h-2\right)}$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{6+6h-6}{2\left(2h-2\right)}$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{6h}{2\left(2h-2\right)}$
On peut simplifier par $2$.
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=\frac{3h}{2h-2}$
4^ème étape : On calcule $\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{\left(\frac{3h}{2h-2} \right)}{h}$
.
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{3h}{2h-2} \times \frac{1}{h}$
On simplifie par $h$.
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{3}{2h-2}$
5^ème étape : On calcule $\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{3}{2h-2}$
Cela signifie que l'on remplace tous les $h$ par zéro.
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =-\frac{3}{2} .$
On vient de montrer que la fonction $f$ est dérivable en $1$ et de nombre dérivée $f'\left(1\right)=-\frac{3}{2}$.

1^ère étape : On calcule $f\left(1\right)$
$f\left(1\right)=4\times 1^{2}$ d'où $f\left(1\right)=4$
2^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)$
$f\left(1+h\right)=4\times \left(1+h\right)^{2}$
$f\left(1+h\right)=4\times \left(1+2h+h^{2} \right)$
$f\left(1+h\right)=4+8h+4h^{2}$
3^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=4+8h+4h^{2}-4$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=8h+4h^{2}$
4^ème étape : On calcule $\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{8h+4h^{2}}{h}$
On va factoriser le numérateur par $h$.
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(4h+8\right)}{h}$
On simplifie par $h$.
. Ici il s'agit donc du taux d'accroissement demandé.
Il ne faut pas faire la $5$^ème étape et recherché la limite quand $h$ tend vers $0$.

1^ère étape : On calcule $f\left(9\right)$
$f\left(9\right)=\sqrt{9}$ d'où $f\left(9\right)=3$
2^ème étape : On calcule $f\left(9+h\right)$
$f\left(9+h\right)=\sqrt{9+h}$

3^ème étape : On calcule $f\left(9+h\right)-f\left(9\right)$
$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\sqrt{9+h} -\sqrt{9}$ .
$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{\left(\sqrt{9+h} -3\right)\left(\sqrt{9+h} +3\right)}{\sqrt{9+h} +3}$ . Nous avons ici multiplié par la quantité conjuguée $\sqrt{9+h} +3$.
$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{\left(\sqrt{9+h} \right)^{2} -3^{2} }{\sqrt{9+h} +3}$
$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{9+h-9}{\sqrt{9+h} +3}$
$f\left(9+h\right)-f\left(9\right)=\frac{h}{\sqrt{9+h} +3}$
4^ème étape : On calcule $\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h}$
$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{\left(\frac{h}{\sqrt{9+h} +3} \right)}{h}$
$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{h}{\sqrt{9+h} +3} \times \frac{1}{h}$
$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{\red{\cancel{ h}}}{\sqrt{9+h} +3} \times \frac{1}{\red{\cancel{ h}}}$
$\frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{9+h} +3}$
5^ème étape : On calcule $\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{9+h} +3}$
Cela signifie que l'on remplace tous les $h$ par zéro.
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{9+0} +3}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{3 +3}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(9+h\right)-f\left(9\right)}{h} =\frac{1}{6}$
On vient de montrer que la fonction $f$ est dérivable en $9$ et de nombre dérivée $f'\left(9\right)=\frac{1}{6}$.