Dérivation

Les dérivées des fonctions composées : (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{ax+b} \right)^{'} =\frac{a}{2\sqrt{ax+b} } - Exercice 3

8 min
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Question 1

Soit ff la fonction dérivable sur ]−16;+∞[\left]-\frac{1}{6};+\infty \right[ et définie par f(x)=5  6x+1f\left(x\right)=5\;\sqrt{6x+1} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=5  6x+1f\left(x\right)=5\;\sqrt{\red{6}x+1} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=5×626x+1f'\left(x\right)=5\times\frac{\red{6}}{2\sqrt{\red{6}x+1} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=5×36x+1f'\left(x\right)=5\times\frac{3}{\sqrt{\red{6}x+1} }
f′(x)=156x+1f'\left(x\right)=\frac{15}{\sqrt{6x+1} }
Question 2

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;−6[\left]-\infty;-6 \right[ et définie par f(x)=−7  −2x−12f\left(x\right)=-7\;\sqrt{-2x-12} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=−7  −2x−12f\left(x\right)=-7\;\sqrt{\red{-2}x-12} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=−7×−22−2x−12f'\left(x\right)=-7\times\frac{\red{-2}}{2\sqrt{\red{-2}x-12} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=−7×−1−2x−12f'\left(x\right)=-7\times\frac{-1}{\sqrt{\red{-2}x-12} }
f′(x)=7−2x−12f'\left(x\right)=\frac{7}{\sqrt{-2x-12} }
Question 3

Soit ff la fonction dérivable sur ]14;+∞[\left]\frac{1}{4};+\infty \right[ et définie par f(x)=7  12x−3f\left(x\right)=7\;\sqrt{12x-3} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=7  12x−3f\left(x\right)=7\;\sqrt{\red{12}x-3} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=7×12212x−3f'\left(x\right)=7\times\frac{\red{12}}{2\sqrt{\red{12}x-3} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=7×612x−3f'\left(x\right)=7\times\frac{6}{\sqrt{\red{12}x-3} }
f′(x)=4212x−3f'\left(x\right)=\frac{42}{\sqrt{12x-3} }
Question 4

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;−3[\left]-\infty;-3 \right[ et définie par f(x)=−4  −9x−27f\left(x\right)=-4\;\sqrt{-9x-27} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=−4  −9x−27f\left(x\right)=-4\;\sqrt{\red{-9}x-27} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=−4×−92−9x−27f'\left(x\right)=-4\times\frac{\red{-9}}{2\sqrt{\red{-9}x-27} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=−2×−9−9x−27f'\left(x\right)=-2\times\frac{-9}{\sqrt{\red{-9}x-27} }
f′(x)=18−9x−27f'\left(x\right)=\frac{18}{\sqrt{-9x-27} }