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Les dérivées des fonctions composées : (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{ax+b} \right)^{'} =\frac{a}{2\sqrt{ax+b} } - Exercice 1

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Question 1

Soit ff la fonction dérivable sur ]2;+∞[\left]2;+\infty \right[ et définie par f(x)=3x−6f\left(x\right)=\sqrt{3x-6} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=3x−6f\left(x\right)=\sqrt{\red{3}x-6} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=323x−6f'\left(x\right)=\frac{\red{3}}{2\sqrt{\red{3}x-6} }
Question 2

Soit ff la fonction dérivable sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ et définie par f(x)=4x+12f\left(x\right)=\sqrt{4x+12} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=4x+12f\left(x\right)=\sqrt{\red{4}x+12} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=424x+12f'\left(x\right)=\frac{\red{4}}{2\sqrt{\red{4}x+12} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=24x+12f'\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{4x+12} }
Question 3

Soit ff la fonction dérivable sur ]3;+∞[\left]3;+\infty \right[ et définie par f(x)=3x−9f\left(x\right)=\sqrt{3x-9} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=3x−9f\left(x\right)=\sqrt{\red{3}x-9} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=323x−9f'\left(x\right)=\frac{\red{3}}{2\sqrt{\red{3}x-9} } . On a alors :
f′(x)=323x−9f'\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{3x-9} }
Question 4

Soit ff la fonction dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ et définie par f(x)=2xf\left(x\right)=\sqrt{2x} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=2xf\left(x\right)=\sqrt{\red{2}x} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=222xf'\left(x\right)=\frac{\red{2}}{2\sqrt{\red{2}x} } . On a alors :
f′(x)=12xf'\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x} }