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Dérivation

Les dérivées des fonctions composées : ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(ax+b\right)^{n} \right)^{'} =a\times n\times \left(ax+b\right)^{n-1} - Exercice 4

10 min
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Question 1

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(−53x−7)9f\left(x\right)=\left(-\frac{5}{3}x-7\right)^{9} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(−53x−7)9f\left(x\right)=\left(\red{-\frac{5}{3}}x-7\right)^{\purple{9}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=9×(−53)×(−53x−7)9−1f'\left(x\right)=\purple{9}\times \red{\left(-\frac{5}{3}\right)}\times \left(\red{-\frac{5}{3}}x-7\right)^{\purple{9}-1}
f′(x)=−453(−53x−7)8f'\left(x\right)=-\frac{45}{3}\left(-\frac{5}{3}x-7\right)^{8}
f′(x)=−15×33(−53x−7)8f'\left(x\right)=-\frac{15\times\cancel3}{\cancel3}\left(-\frac{5}{3}x-7\right)^{8}
f′(x)=−15(−53x−7)8f'\left(x\right)=-15\left(-\frac{5}{3}x-7\right)^{8}
Question 2

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(47x+9)21f\left(x\right)=\left(\frac{4}{7}x+9\right)^{21} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(47x+9)21f\left(x\right)=\left(\red{\frac{4}{7}}x+9\right)^{\purple{21}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=21×47×(47x+9)21−1f'\left(x\right)=\purple{21}\times \red{\frac{4}{7}}\times \left(\red{\frac{4}{7}}x+9\right)^{\purple{21}-1}
f′(x)=847(47x+9)20f'\left(x\right)=\frac{84}{7}\left(\frac{4}{7}x+9\right)^{20}
f′(x)=12×77(47x+9)20f'\left(x\right)=\frac{12\times\cancel7}{\cancel7}\left(\frac{4}{7}x+9\right)^{20}
f′(x)=12(47x+9)20f'\left(x\right)=12\left(\frac{4}{7}x+9\right)^{20}
Question 3

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(−38x+10)12f\left(x\right)=\left(-\frac{3}{8}x+10\right)^{12} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(−38x+10)12f\left(x\right)=\left(\red{-\frac{3}{8}}x+10\right)^{\purple{12}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=12×(−38)×(−38x+10)12−1f'\left(x\right)=\purple{12}\times \red{\left(-\frac{3}{8}\right)}\times \left(\red{-\frac{3}{8}}x+10\right)^{\purple{12}-1}
f′(x)=−368(−38x+10)11f'\left(x\right)=-\frac{36}{8}\left(-\frac{3}{8}x+10\right)^{11}
f′(x)=−9×42×4(−38x+10)11f'\left(x\right)=-\frac{9\times\cancel4}{2\times\cancel4}\left(-\frac{3}{8}x+10\right)^{11}
f′(x)=−92(−38x+10)11f'\left(x\right)=-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{8}x+10\right)^{11}
Question 4

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(410x−12)15f\left(x\right)=\left(\frac{4}{10}x-12\right)^{15} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(410x−12)15f\left(x\right)=\left(\red{\frac{4}{10}}x-12\right)^{\purple{15}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=15×(410)×(410x−12)15−1f'\left(x\right)=\purple{15}\times \red{\left(\frac{4}{10}\right)}\times \left(\red{\frac{4}{10}}x-12\right)^{\purple{15}-1}
f′(x)=6010(410x−12)14f'\left(x\right)=\frac{60}{10}\left(\frac{4}{10}x-12\right)^{14}
f′(x)=6×1010(410x−12)14f'\left(x\right)=\frac{6\times\cancel10}{\cancel10}\left(\frac{4}{10}x-12\right)^{14}
f′(x)=6(410x−12)14f'\left(x\right)=6\left(\frac{4}{10}x-12\right)^{14}