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Dérivation
Les dérivées des fonctions composées :
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(ax+b\right)^{n} \right)^{'} =a\times n\times \left(ax+b\right)^{n-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
- Exercice 3
8 min
15
Question 1
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
6
x
+
5
)
3
f\left(x\right)=\left(6x+5\right)^{3}
f
(
x
)
=
(
6
x
+
5
)
3
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
6
x
+
5
)
3
f\left(x\right)=\left(\red{6}x+5\right)^{\purple{3}}
f
(
x
)
=
(
6
x
+
5
)
3
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
3
×
6
×
(
6
x
+
5
)
3
−
1
f'\left(x\right)=\purple{3}\times \red{6}\times \left(\red{6}x+5\right)^{\purple{3}-1}
f
′
(
x
)
=
3
×
6
×
(
6
x
+
5
)
3
−
1
f
′
(
x
)
=
18
(
6
x
+
5
)
2
f'\left(x\right)=18\left(6x+5\right)^{2}
f
′
(
x
)
=
18
(
6
x
+
5
)
2
Question 2
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
−
7
x
+
8
)
9
f\left(x\right)=\left(-7x+8\right)^{9}
f
(
x
)
=
(
−
7
x
+
8
)
9
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
−
7
x
+
8
)
9
f\left(x\right)=\left(\red{-7}x+8\right)^{\purple{9}}
f
(
x
)
=
(
−
7
x
+
8
)
9
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
9
×
(
−
7
)
×
(
−
7
x
+
8
)
9
−
1
f'\left(x\right)=\purple{9}\times \red{(-7)}\times \left(\red{-7}x+8\right)^{\purple{9}-1}
f
′
(
x
)
=
9
×
(
−
7
)
×
(
−
7
x
+
8
)
9
−
1
f
′
(
x
)
=
−
63
(
−
7
x
+
8
)
8
f'\left(x\right)=-63\left(-7x+8\right)^{8}
f
′
(
x
)
=
−
63
(
−
7
x
+
8
)
8
Question 3
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
−
2
x
−
7
)
14
f\left(x\right)=\left(-2x-7\right)^{14}
f
(
x
)
=
(
−
2
x
−
7
)
14
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
−
2
x
−
7
)
14
f\left(x\right)=\left(\red{-2}x-7\right)^{\purple{14}}
f
(
x
)
=
(
−
2
x
−
7
)
14
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
14
×
(
−
2
)
×
(
−
2
x
−
7
)
14
−
1
f'\left(x\right)=\purple{14}\times \red{(-2)}\times \left(\red{-2}x-7\right)^{\purple{14}-1}
f
′
(
x
)
=
14
×
(
−
2
)
×
(
−
2
x
−
7
)
14
−
1
f
′
(
x
)
=
−
28
(
−
2
x
−
7
)
13
f'\left(x\right)=-28\left(-2x-7\right)^{13}
f
′
(
x
)
=
−
28
(
−
2
x
−
7
)
13
Question 4
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
10
−
5
x
)
9
f\left(x\right)=\left(10-5x\right)^{9}
f
(
x
)
=
(
10
−
5
x
)
9
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
10
−
5
x
)
9
f\left(x\right)=\left(10\red{-5}x\right)^{\purple{9}}
f
(
x
)
=
(
10
−
5
x
)
9
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
9
×
(
−
5
)
×
(
10
−
5
x
)
9
−
1
f'\left(x\right)=\purple{9}\times \red{(-5)}\times \left(10\red{-5}x\right)^{\purple{9}-1}
f
′
(
x
)
=
9
×
(
−
5
)
×
(
10
−
5
x
)
9
−
1
f
′
(
x
)
=
−
45
(
10
−
5
x
)
8
f'\left(x\right)=-45\left(10-5x\right)^{8}
f
′
(
x
)
=
−
45
(
10
−
5
x
)
8