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Les dérivées des fonctions composées : ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(ax+b\right)^{n} \right)^{'} =a\times n\times \left(ax+b\right)^{n-1} - Exercice 2

10 min
20
Question 1

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(−25x−7)6f\left(x\right)=\left(-\frac{2}{5}x-7\right)^{6} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(−25x−7)6f\left(x\right)=\left(\red{-\frac{2}{5}}x-7\right)^{\purple{6}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=6×(−25)×(−25x−7)6−1f'\left(x\right)=\purple{6}\times \red{\left(-\frac{2}{5}\right)}\times \left(\red{-\frac{2}{5}}x-7\right)^{\purple{6}-1}
f′(x)=−125(−25x−7)5f'\left(x\right)=-\frac{12}{5}\left(-\frac{2}{5}x-7\right)^{5}
Question 2

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(59x+4)15f\left(x\right)=\left(\frac{5}{9}x+4\right)^{15} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(59x+4)15f\left(x\right)=\left(\red{\frac{5}{9}}x+4\right)^{\purple{15}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=15×59×(59x+4)15−1f'\left(x\right)=\purple{15}\times \red{\frac{5}{9}}\times \left(\red{\frac{5}{9}}x+4\right)^{\purple{15}-1}
f′(x)=759(59x+4)14f'\left(x\right)=\frac{75}{9}\left(\frac{5}{9}x+4\right)^{14}
f′(x)=25×33×3(59x+4)14f'\left(x\right)=\frac{25\times\cancel3}{3\times\cancel3}\left(\frac{5}{9}x+4\right)^{14}
f′(x)=253(59x+4)14f'\left(x\right)=\frac{25}{3}\left(\frac{5}{9}x+4\right)^{14}
Question 3

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(−113x+1)13f\left(x\right)=\left(-\frac{11}{3}x+1\right)^{13} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(−113x+1)13f\left(x\right)=\left(\red{-\frac{11}{3}}x+1\right)^{\purple{13}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=13×(−113)×(−113x+1)13−1f'\left(x\right)=\purple{13}\times \red{\left(-\frac{11}{3}\right)}\times \left(\red{-\frac{11}{3}}x+1\right)^{\purple{13}-1}
f′(x)=−1433(−113x+1)12f'\left(x\right)=-\frac{143}{3}\left(-\frac{11}{3}x+1\right)^{12}
Question 4

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(94x−2)10f\left(x\right)=\left(\frac{9}{4}x-2\right)^{10} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(94x−2)10f\left(x\right)=\left(\red{\frac{9}{4}}x-2\right)^{\purple{10}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=10×(94)×(94x−2)10−1f'\left(x\right)=\purple{10}\times \red{\left(\frac{9}{4}\right)}\times \left(\red{\frac{9}{4}}x-2\right)^{\purple{10}-1}
f′(x)=904(94x−2)9f'\left(x\right)=\frac{90}{4}\left(\frac{9}{4}x-2\right)^{9}
f′(x)=45×22×2(94x−2)9f'\left(x\right)=\frac{45\times\cancel2}{2\times\cancel2}\left(\frac{9}{4}x-2\right)^{9}
f′(x)=452(94x−2)9f'\left(x\right)=\frac{45}{2}\left(\frac{9}{4}x-2\right)^{9}

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