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La forme uvuv ou la dérivée d'un produit - Exercice 3

10 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée. On ne cherchera pas à donner le domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=(4x−3)(2x+5)f\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(2x+5\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=4x−3u\left(x\right)=4x-3 et v(x)=2x+5v\left(x\right)=2x+5
Ainsi : u′(x)=4u'\left(x\right)=4 et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=4×(2x+5)+(4x−3)×2f'\left(x\right)=4\times \left(2x+5\right)+\left(4x-3\right)\times 2
f′(x)=4×2x+4×5+4x×2+(−3)×2f'\left(x\right)=4\times 2x+4\times 5+4x\times2+\left(-3\right)\times 2
f′(x)=8x+20+8x−6f'\left(x\right)=8x+20+8x-6
f′(x)=16x+14f'\left(x\right)=16x+14
Question 2

f(x)=(3x+7)(5x+1)f\left(x\right)=\left(3x+7\right)\left(5x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=3x+7u\left(x\right)=3x+7 et v(x)=5x+1v\left(x\right)=5x+1
Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=5v'\left(x\right)=5.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(5x+1)+(3x+7)×5f'\left(x\right)=3\times \left(5x+1\right)+\left(3x+7\right)\times 5
f′(x)=3×5x+3×1+3x×5+7×5f'\left(x\right)=3\times5x + 3\times1+3x\times 5+7\times 5
f′(x)=15x+3+15x+35f'\left(x\right)=15x+3+15x+35
f′(x)=30x+38f'\left(x\right)=30x+38
Question 3

f(x)=(8x+4)(−2x+2)f\left(x\right)=\left(8x+4\right)\left(-2x+2\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=8x+4u\left(x\right)=8x+4 et v(x)=−2x+2v\left(x\right)=-2x+2
Ainsi : u′(x)=8u'\left(x\right)=8 et v′(x)=−2v'\left(x\right)=-2.
Il vient alors que :
f′(x)=8×(−2x+2)+(8x+4)×(−2)f'\left(x\right)=8\times \left(-2x+2\right)+\left(8x+4\right)\times \left(-2\right)
f′(x)=8×(−2x)+8×2+8x×(−2)+4×(−2)f'\left(x\right)=8\times \left(-2x\right)+8\times 2+8x\times \left(-2\right)+4\times \left(-2\right)
f′(x)=−16x+16−16x−8f'\left(x\right)=-16x+16-16x-8
f′(x)=−32x+8f'\left(x\right)=-32x+8
Question 4

f(x)=(−4x+9)(−5x+4)f\left(x\right)=\left(-4x+9\right)\left(-5x+4\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=−4x+9u\left(x\right)=-4x+9 et v(x)=−5x+4v\left(x\right)=-5x+4
Ainsi : u′(x)=−4u'\left(x\right)=-4 et v′(x)=−5v'\left(x\right)=-5.
Il vient alors que :
f′(x)=(−4)×(−5x+4)+(−4x+9)×(−5)f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times \left(-5x+4\right)+\left(-4x+9\right)\times \left(-5\right)
f′(x)=(−4)×(−5x)+(−4)×4+(−4x)×(−5)+9×(−5)f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times \left(-5x\right)+\left(-4\right)\times4+\left(-4x\right)\times \left(-5\right)+9\times \left(-5\right)
f′(x)=20x−16+20x−45f'\left(x\right)=20x-16+20x-45
f′(x)=40x−61f'\left(x\right)=40x-61
Question 5

f(x)=(5x2−2x)(3x−4)f\left(x\right)=\left(5x^{2} -2x\right)\left(3x-4\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=5x2−2xu\left(x\right)=5x^{2} -2x et v(x)=3x−4v\left(x\right)=3x-4
Ainsi : u′(x)=10x−2u'\left(x\right)=10x-2 et v′(x)=3v'\left(x\right)=3.
Il vient alors que :
f′(x)=(10x−2)×(3x−4)+(5x2−2x)×3f'\left(x\right)=\left(10x-2\right)\times \left(3x-4\right)+\left(5x^{2} -2x\right)\times 3
f′(x)=10x×3x+10x×(−4)+(−2)×3x+(−2)×(−4)+5x2×3−2x×3f'\left(x\right)=10x \times 3x+10x \times (-4)+(-2) \times 3x + (-2) \times (-4)+5x^{2} \times 3 -2x\times3
f′(x)=30x2−40x−6x+8+15x2−6xf'\left(x\right)=30x^{2} -40x-6x+8+15x^{2} -6x
f′(x)=45x2−52x+8f'\left(x\right)=45x^{2} -52x+8

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