La forme $$uv$$ ou la dérivée d'un produit - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=4x-3$$ et $$v\left(x\right)=2x+5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=4\times \left(2x+5\right)+\left(4x-3\right)\times 2$$
$$f'\left(x\right)=4\times 2x+4\times 5+4x\times2+\left(-3\right)\times 2$$
$$f'\left(x\right)=8x+20+8x-6$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=3x+7$$ et $$v\left(x\right)=5x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=5$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times \left(5x+1\right)+\left(3x+7\right)\times 5$$
$$f'\left(x\right)=3\times5x + 3\times1+3x\times 5+7\times 5$$
$$f'\left(x\right)=15x+3+15x+35$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=8x+4$$ et $$v\left(x\right)=-2x+2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=8$$ et $$v'\left(x\right)=-2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=8\times \left(-2x+2\right)+\left(8x+4\right)\times \left(-2\right)$$
$$f'\left(x\right)=8\times \left(-2x\right)+8\times 2+8x\times \left(-2\right)+4\times \left(-2\right)$$
$$f'\left(x\right)=-16x+16-16x-8$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=-4x+9$$ et $$v\left(x\right)=-5x+4$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-4$$ et $$v'\left(x\right)=-5$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times \left(-5x+4\right)+\left(-4x+9\right)\times \left(-5\right)$$
$$f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times \left(-5x\right)+\left(-4\right)\times4+\left(-4x\right)\times \left(-5\right)+9\times \left(-5\right)$$
$$f'\left(x\right)=20x-16+20x-45$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=5x^{2} -2x$$ et $$v\left(x\right)=3x-4$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=10x-2$$ et $$v'\left(x\right)=3$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(10x-2\right)\times \left(3x-4\right)+\left(5x^{2} -2x\right)\times 3$$
$$f'\left(x\right)=10x \times 3x+10x \times (-4)+(-2) \times 3x + (-2) \times (-4)+5x^{2} \times 3 -2x\times3$$
$$f'\left(x\right)=30x^{2} -40x-6x+8+15x^{2} -6x$$