Dérivation

La forme uvuv ou la dérivée d'un produit - Exercice 3

10 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée. On ne cherchera pas à donner le domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=(4x3)(2x+5)f\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(2x+5\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=4x3u\left(x\right)=4x-3 et v(x)=2x+5v\left(x\right)=2x+5
Ainsi : u(x)=4u'\left(x\right)=4 et v(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f(x)=4×(2x+5)+(4x3)×2f'\left(x\right)=4\times \left(2x+5\right)+\left(4x-3\right)\times 2
f(x)=4×2x+4×5+4x×2+(3)×2f'\left(x\right)=4\times 2x+4\times 5+4x\times2+\left(-3\right)\times 2
f(x)=8x+20+8x6f'\left(x\right)=8x+20+8x-6
f(x)=16x+14f'\left(x\right)=16x+14
Question 2

f(x)=(3x+7)(5x+1)f\left(x\right)=\left(3x+7\right)\left(5x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=3x+7u\left(x\right)=3x+7 et v(x)=5x+1v\left(x\right)=5x+1
Ainsi : u(x)=3u'\left(x\right)=3 et v(x)=5v'\left(x\right)=5.
Il vient alors que :
f(x)=3×(5x+1)+(3x+7)×5f'\left(x\right)=3\times \left(5x+1\right)+\left(3x+7\right)\times 5
f(x)=3×5x+3×1+3x×5+7×5f'\left(x\right)=3\times5x + 3\times1+3x\times 5+7\times 5
f(x)=15x+3+15x+35f'\left(x\right)=15x+3+15x+35
f(x)=30x+38f'\left(x\right)=30x+38
Question 3

f(x)=(8x+4)(2x+2)f\left(x\right)=\left(8x+4\right)\left(-2x+2\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=8x+4u\left(x\right)=8x+4 et v(x)=2x+2v\left(x\right)=-2x+2
Ainsi : u(x)=8u'\left(x\right)=8 et v(x)=2v'\left(x\right)=-2.
Il vient alors que :
f(x)=8×(2x+2)+(8x+4)×(2)f'\left(x\right)=8\times \left(-2x+2\right)+\left(8x+4\right)\times \left(-2\right)
f(x)=8×(2x)+8×2+8x×(2)+4×(2)f'\left(x\right)=8\times \left(-2x\right)+8\times 2+8x\times \left(-2\right)+4\times \left(-2\right)
f(x)=16x+1616x8f'\left(x\right)=-16x+16-16x-8
f(x)=32x+8f'\left(x\right)=-32x+8
Question 4

f(x)=(4x+9)(5x+4)f\left(x\right)=\left(-4x+9\right)\left(-5x+4\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=4x+9u\left(x\right)=-4x+9 et v(x)=5x+4v\left(x\right)=-5x+4
Ainsi : u(x)=4u'\left(x\right)=-4 et v(x)=5v'\left(x\right)=-5.
Il vient alors que :
f(x)=(4)×(5x+4)+(4x+9)×(5)f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times \left(-5x+4\right)+\left(-4x+9\right)\times \left(-5\right)
f(x)=(4)×(5x)+(4)×4+(4x)×(5)+9×(5)f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times \left(-5x\right)+\left(-4\right)\times4+\left(-4x\right)\times \left(-5\right)+9\times \left(-5\right)
f(x)=20x16+20x45f'\left(x\right)=20x-16+20x-45
f(x)=40x61f'\left(x\right)=40x-61
Question 5

f(x)=(5x22x)(3x4)f\left(x\right)=\left(5x^{2} -2x\right)\left(3x-4\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=5x22xu\left(x\right)=5x^{2} -2x et v(x)=3x4v\left(x\right)=3x-4
Ainsi : u(x)=10x2u'\left(x\right)=10x-2 et v(x)=3v'\left(x\right)=3.
Il vient alors que :
f(x)=(10x2)×(3x4)+(5x22x)×3f'\left(x\right)=\left(10x-2\right)\times \left(3x-4\right)+\left(5x^{2} -2x\right)\times 3
f(x)=10x×3x+10x×(4)+(2)×3x+(2)×(4)+5x2×32x×3f'\left(x\right)=10x \times 3x+10x \times (-4)+(-2) \times 3x + (-2) \times (-4)+5x^{2} \times 3 -2x\times3
f(x)=30x240x6x+8+15x26xf'\left(x\right)=30x^{2} -40x-6x+8+15x^{2} -6x
f(x)=45x252x+8f'\left(x\right)=45x^{2} -52x+8