La forme $$uv$$ ou la dérivée d'un produit - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=x^{3}$$ et $$v\left(x\right)=2x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3x^{2}$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3x^{2} \times \left(2x+1\right)+x^{3} \times 2$$
$$f'\left(x\right)= 3x^{2} \times2x+3x^{2} \times1+2x^{3}$$
$$f'\left(x\right)=6x^{3} +3x^{2} +2x^{3}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\sqrt{x}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x} }$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \sqrt{x} +x\times \frac{1}{2\sqrt{x} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=-x^{2} +2x+3$$ et $$v\left(x\right)=-5x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2x+2$$ et $$v'\left(x\right)=-5$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(-2x+2\right)\times \left(-5x+1\right)+\left(-x^{2} +2x+3\right)\times \left(-5\right)$$
$$f'\left(x\right)=(-2x)\times(-5x)+(-2x)\times1+2\times(-5x)+2\times1+(-x^{2}\times(-5)+2x\times(-5)+3\times(-5)$$
$$f'\left(x\right)=10x^{2}-2x-10x+2+5x^{2}-10x-15$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=-x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4x$$ et $$v'\left(x\right)=-1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=4x\times \left(-x+1\right)+2x^{2} \times \left(-1\right)$$
$$f'\left(x\right)=4x\times \left(-x\right)+4x\times 1-2x^{2}$$
$$f'\left(x\right)=-4x^{2} +4x-2x^{2}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=4x^{2}-3x$$ et $$v\left(x\right)=-2x^{2}+6x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4\times2x-3 =8x-3$$ et $$v'\left(x\right)=-2\times2x+6=-4x+6$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(8x-3\right)\times \left(-2x^{2}+6x+1\right)+\left(4x^{2}-3x\right)\times \left(-4x+6\right)$$
$$f'\left(x\right)=8x\times \left(-2x^2\right)+8x\times 6x+8x+\left(-3\right)\times \left(-2x^2\right)+\left(-3\right)\times 6x-3+4x^2\times \left(-4x\right)+4x^2\times 6+\left(-3x\right)\times \left(-4x\right)+\left(-3x\right)\times 6$$
$$f'\left(x\right)=-16x^3+48x^2+8x+6x^2-18x-3-16x^3+24x^2+12x^2-18x$$
Finalement :