La forme $$\frac{u}{v}$$ ou la dérivée d'un quotient - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{1\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=2x+5$$ et $$v\left(x\right)=4x-4$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=4$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x-4\right)-\left(2x+5\right)\times 4}{\left(4x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{8x-8-\left(8x+20\right)}{\left(4x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{8x-8-8x-20}{\left(4x-4\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{\frac{3}{5}\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=x-6$$ et $$v\left(x\right)=5x-3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=5$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(5x-3\right)-\left(x-6\right)\times 5}{\left(5x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{5x-3-\left(5x-30\right)}{\left(5x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{5x-3-5x+30}{\left(5x-3\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{3\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=7x+5$$ et $$v\left(x\right)=-3x+9$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=7$$ et $$v'\left(x\right)=-3$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{7\times \left(-3x+9\right)-\left(7x+5\right)\times \left(-3\right)}{\left(-3x+9\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-21x+63-\left(-21x-15\right)}{\left(-3x+9\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-21x+63 +21x+15}{\left(-3x+9\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{-\frac{5}{6} \right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2} -4x+3$$ et $$v\left(x\right)=6x+5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x-4$$ et $$v'\left(x\right)=6$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(2x-4\right)\times \left(6x+5\right)-\left(x^{2} -4x+3\right)\times 6}{\left(6x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(12x^{2} +10x-24x-20\right)-\left(6x^{2} -24x+18\right)}{\left(6x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(12x^{2} -14x-20\right)-\left(6x^{2} -24x+18\right)}{\left(6x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{12x^{2} -14x-20-6x^{2} +24x-18}{\left(6x+5\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ . Ici, le dénominateur ne s'annule jamais sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=-4x-9$$ et $$v\left(x\right)=3x^{2}+6$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-4$$ et $$v'\left(x\right)=6x$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(-4\right)\times \left(3x^{2}+6\right)-\left(-4x-9\right)\times 6x}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-12x^{2}-24-\left(-24x^{2}-54x\right)}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-12x^{2} -24+24x^{2}+54x}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }$$