Dérivation

La forme uv\frac{u}{v} ou la dérivée d'un quotient - Exercice 1

12 min
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Question 1
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :

f(x)=3x+42x2f\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x-2}

Correction
ff est dérivable sur R{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=3x+4u\left(x\right)=3x+4 et v(x)=2x2v\left(x\right)=2x-2
Ainsi : u(x)=3u'\left(x\right)=3 et v(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f(x)=3×(2x2)(3x+4)×(2)(2x2)2f'\left(x\right)=\frac{3\times \left(2x-2\right)-\left(3x+4\right)\times \left(2\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }
f(x)=6x6(6x+8)(2x2)2f'\left(x\right)=\frac{6x-6-\left(6x+8\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }
f(x)=6x66x8(2x2)2f'\left(x\right)=\frac{6x-6-6x-8}{\left(2x-2\right)^{2} }
f(x)=14(2x2)2f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} }

Question 2

f(x)=x23x5f\left(x\right)=\frac{x-2}{3x-5}

Correction
ff est dérivable sur R{53}\mathbb{R}-\left\{\frac{5}{3}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=x2u\left(x\right)=x-2 et v(x)=3x5v\left(x\right)=3x-5
Ainsi : u(x)=1u'\left(x\right)=1 et v(x)=3v'\left(x\right)=3.
Il vient alors que :
f(x)=1×(3x5)(x2)×3(3x5)2f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(3x-5\right)-\left(x-2\right)\times 3}{\left(3x-5\right)^{2} }
f(x)=3x5(3x6)(3x5)2f'\left(x\right)=\frac{3x-5-\left(3x-6\right)}{\left(3x-5\right)^{2} }
f(x)=3x53x+6(3x5)2f'\left(x\right)=\frac{3x-5-3x+6}{\left(3x-5\right)^{2} }
f(x)=1(3x5)2f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(3x-5\right)^{2} }

Question 3

f(x)=4x+15x+10f\left(x\right)=\frac{4x+1}{-5x+10}

Correction
ff est dérivable sur R{2}\mathbb{R}-\left\{2\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=4x+1u\left(x\right)=4x+1 et v(x)=5x+10v\left(x\right)=-5x+10
Ainsi : u(x)=4u'\left(x\right)=4 et v(x)=5v'\left(x\right)=-5.
Il vient alors que :
f(x)=4×(5x+10)(4x+1)×(5)(5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{4\times \left(-5x+10\right)-\left(4x+1\right)\times \left(-5\right)}{\left(-5x+10\right)^{2} }
f(x)=20x+40(20x5)(5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{-20x+40-\left(-20x-5\right)}{\left(-5x+10\right)^{2} }
f(x)=20x+40+20x+5(5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{-20x+40 +20x+5}{\left(-5x+10\right)^{2} }
f(x)=45(5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{45}{\left(-5x+10\right)^{2} }
Question 4

f(x)=2x23x+15x+3f\left(x\right)=\frac{2x^{2} -3x+1}{5x+3}

Correction
ff est dérivable sur R{35}\mathbb{R}-\left\{\frac{-3}{5} \right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=2x23x+1u\left(x\right)=2x^{2} -3x+1 et v(x)=5x+3v\left(x\right)=5x+3
Ainsi : u(x)=4x3u'\left(x\right)=4x-3 et v(x)=5v'\left(x\right)=5.
Il vient alors que :
f(x)=(4x3)×(5x+3)(2x23x+1)×(5)(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{\left(4x-3\right)\times \left(5x+3\right)-\left(2x^{2} -3x+1\right)\times \left(5\right)}{\left(5x+3\right)^{2} }
f(x)=(20x2+12x15x9)(10x215x+5)(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{\left(20x^{2} +12x-15x-9\right)-\left(10x^{2} -15x+5\right)}{\left(5x+3\right)^{2} }
f(x)=(20x23x9)(10x215x+5)(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{\left(20x^{2} -3x-9\right)-\left(10x^{2} -15x+5\right)}{\left(5x+3\right)^{2} }
f(x)=20x23x910x2+15x5(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{20x^{2} -3x-9-10x^{2} +15x-5}{\left(5x+3\right)^{2} }
f(x)=10x2+12x14(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{10x^{2} +12x-14}{\left(5x+3\right)^{2} }
Question 5

f(x)=2x9x2+6f\left(x\right)=\frac{-2x-9}{x^{2}+6}

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} . Ici, le dénominateur ne s'annule jamais sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=2x9u\left(x\right)=-2x-9 et v(x)=x2+6v\left(x\right)=x^{2}+6
Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=-2 et v(x)=2xv'\left(x\right)=2x.
Il vient alors que :
f(x)=(2)×(x2+6)(2x9)×2x(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\right)\times \left(x^{2}+6\right)-\left(-2x-9\right)\times 2x}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }
f(x)=2x212(4x218x)(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2}-12-\left(-4x^{2}-18x\right)}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }
f(x)=2x212+4x2+18x(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} -12+4x^{2}+18x}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }
f(x)=2x2+18x12(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{2}+18x-12}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }