La forme $\frac{1}{v}$

$f$ est dérivable sur $\left]-1;1\right[$.
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=1-x^{2}$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-2x$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2} \right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=3-6x$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-6$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(-6\right)}{\left(3-6x \right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\left]0;+\infty\right[$.
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=\sqrt{x}$
Ainsi : $v'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x} }$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{1}{2\sqrt{x} } \right)}{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{1}{2\sqrt{x} } \right)}{x}$
$f'\left(x\right)=\frac{-1}{2\sqrt{x} } \times \frac{1}{x}$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{7}\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On peut écrire $f\left(x\right)=\frac{5}{7x-1}$ sous la forme $f\left(x\right)=5\times\frac{1}{7x-1}$
On reconnaît la forme $\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=7x-1$ et $k=5$
Ainsi : $v'\left(x\right)=7$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=5\times\frac{-7}{\left(7x-1 \right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $I$.
On peut écrire $f\left(x\right)=\frac{-2}{\cos \left(x\right)}$ sous la forme $f\left(x\right)=-2\times \frac{1}{\cos \left(x\right)}$
On reconnaît la forme $\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ et $k=-2$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-2\times \frac{-\left(-\sin \left(x\right)\right)}{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-2\sin \left(x\right)}{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }$
Ainsi :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{4\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On peut écrire $f\left(x\right)=\frac{-2}{-3x+12}$ sous la forme $f\left(x\right)=-2\times\frac{1}{-3x+12}$
On reconnaît la forme $\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=-3x+12$ et $k=-2$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-3$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-2\times \frac{-\left(-3\right)}{\left(-3x+12\right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;2\right[$ .
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=2x-4$ . Ainsi : $v'\left(x\right)=2$
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-6+5\times \frac{-2}{\left(2x-4\right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\left]-3;3\right[$.
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=9-x^{2}$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-2x$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(-2x\right)}{\left(9-x^{2} \right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=5-10x$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-10$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(-10\right)}{\left(5-10x \right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\left]0;+\infty\right[$.
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=3\sqrt{x}$
Ainsi : $v'\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{x} }$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{3}{2\sqrt{x} } \right)}{\left(3\sqrt{x} \right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{3}{2\sqrt{x} } \right)}{9x}$
$f'\left(x\right)=\frac{-3}{2\sqrt{x} } \times \frac{1}{9x}$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{9}\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On peut écrire $f\left(x\right)=\frac{4}{9x-2}$ sous la forme $f\left(x\right)=4\times\frac{1}{9x-2}$
On reconnaît la forme $\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=9x-2$ et $k=4$
Ainsi : $v'\left(x\right)=9$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=4\times\frac{-9}{\left(9x-2 \right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $I$.
On peut écrire $f\left(x\right)=\frac{4}{\sin \left(x\right)}$ sous la forme $f\left(x\right)=4\times \frac{1}{\sin \left(x\right)}$
On reconnaît la forme $\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ et $k=4$
Ainsi : $v'\left(x\right)=\cos\left(x\right)$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=4\times \frac{-\left(\cos \left(x\right)\right)}{\left(\sin\left(x\right)\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-4\cos \left(x\right)}{\left(\sin\left(x\right)\right)^{2} }$
Ainsi :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{4\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On peut écrire $f\left(x\right)=\frac{-3}{-6x+24}$ sous la forme $f\left(x\right)=-3\times\frac{1}{-6x+24}$
On reconnaît la forme $\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=-6x+24$ et $k=-3$
Ainsi : $v'\left(x\right)=-6$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-3\times \frac{-\left(-6\right)}{\left(-6x+24\right)^{2} }$

$f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;\frac{7}{3}\right[$ .
On reconnaît la forme $\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$ avec $v\left(x\right)=3x-7$ . Ainsi : $v'\left(x\right)=3$
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-5+11\times \frac{-3}{\left(3x-7\right)^{2} }$