Dérivation

La forme 1v\frac{1}{v} - Exercice 1

15 min
20
Question 1
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :

Soit la fonction ff définie sur ]1;1[\left]-1;1\right[ par f(x)=11x2f\left(x\right)=\frac{1}{1-x^{2} }.

Correction
ff est dérivable sur ]1;1[\left]-1;1\right[.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=1x2v\left(x\right)=1-x^{2}
Ainsi : v(x)=2xv'\left(x\right)=-2x.
Il vient alors que :
f(x)=(2x)(1x2)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2} \right)^{2} }
f(x)=2x(1x2)2f'\left(x\right)=\frac{2x}{\left(1-x^{2} \right)^{2} }

Question 2

f(x)=136xf\left(x\right)=\frac{1}{3-6x}.

Correction
ff est dérivable sur R{12}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=36xv\left(x\right)=3-6x
Ainsi : v(x)=6v'\left(x\right)=-6.
Il vient alors que :
f(x)=(6)(36x)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-6\right)}{\left(3-6x \right)^{2} }
f(x)=6(36x)2f'\left(x\right)=\frac{6}{\left(3-6x \right)^{2} }
Question 3

f(x)=1xf\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x} }.

Correction
ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=xv\left(x\right)=\sqrt{x}
Ainsi : v(x)=12xv'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x} }.
Il vient alors que :
f(x)=(12x)(x)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{1}{2\sqrt{x} } \right)}{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }
f(x)=(12x)xf'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{1}{2\sqrt{x} } \right)}{x}
f(x)=12x×1xf'\left(x\right)=\frac{-1}{2\sqrt{x} } \times \frac{1}{x}
f(x)=12xxf'\left(x\right)=\frac{-1}{2x\sqrt{x} }

Question 4

f(x)=57x1f\left(x\right)=\frac{5}{7x-1}.

Correction
ff est dérivable sur R{17}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{7}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=57x1f\left(x\right)=\frac{5}{7x-1} sous la forme f(x)=5×17x1f\left(x\right)=5\times\frac{1}{7x-1}
On reconnaît la forme (k×1v)=k×vv2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=7x1v\left(x\right)=7x-1 et k=5k=5
Ainsi : v(x)=7v'\left(x\right)=7.
Il vient alors que :
f(x)=5×7(7x1)2f'\left(x\right)=5\times\frac{-7}{\left(7x-1 \right)^{2} }
f(x)=35(7x1)2f'\left(x\right)=\frac{-35}{\left(7x-1 \right)^{2} }
Question 5

f(x)=2cos(x)f\left(x\right)=\frac{-2}{\cos \left(x\right)}. On suppose que la fonction ff est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.

Correction
ff est dérivable sur II.
On peut écrire f(x)=2cos(x)f\left(x\right)=\frac{-2}{\cos \left(x\right)} sous la forme f(x)=2×1cos(x)f\left(x\right)=-2\times \frac{1}{\cos \left(x\right)}
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (k×1v)=k×vv2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=cos(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right) et k=2k=-2
Ainsi : v(x)=sin(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
Il vient alors que :
f(x)=2×(sin(x))(cos(x))2f'\left(x\right)=-2\times \frac{-\left(-\sin \left(x\right)\right)}{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }
f(x)=2sin(x)(cos(x))2f'\left(x\right)=\frac{-2\sin \left(x\right)}{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }
Ainsi :
f(x)=2sin(x)cos2(x)f'\left(x\right)=\frac{-2\sin \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}

Question 6

f(x)=23x+12f\left(x\right)=\frac{-2}{-3x+12}

Correction
ff est dérivable sur R{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\} (on enlève la valeur interdite).
On peut écrire f(x)=23x+12f\left(x\right)=\frac{-2}{-3x+12} sous la forme f(x)=2×13x+12f\left(x\right)=-2\times\frac{1}{-3x+12}
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)=vv2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (k×1v)=k×vv2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=3x+12v\left(x\right)=-3x+12 et k=2k=-2
Ainsi : v(x)=3v'\left(x\right)=-3.
Il vient alors que :
f(x)=2×(3)(3x+12)2f'\left(x\right)=-2\times \frac{-\left(-3\right)}{\left(-3x+12\right)^{2} }
f(x)=6(3x+12)2f'\left(x\right)=\frac{-6}{\left(-3x+12 \right)^{2} }