On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=1−x2 Ainsi : v′(x)=−2x. Il vient alors que : f′(x)=(1−x2)2−(−2x)
f′(x)=(1−x2)22x
2
f(x)=3−6x1.
Correction
f est dérivable sur R−{21} (on enlève la valeur interdite). On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=3−6x Ainsi : v′(x)=−6. Il vient alors que : f′(x)=(3−6x)2−(−6)
f′(x)=(3−6x)26
3
f(x)=x1.
Correction
f est dérivable sur ]0;+∞[. On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=x Ainsi : v′(x)=2x1. Il vient alors que : f′(x)=(x)2−(2x1) f′(x)=x−(2x1) f′(x)=2x−1×x1
f′(x)=2xx−1
4
f(x)=7x−15.
Correction
f est dérivable sur R−{71} (on enlève la valeur interdite). On peut écrire f(x)=7x−15 sous la forme f(x)=5×7x−11 On reconnaît la forme (k×v1)′=k×v2−v′ avec v(x)=7x−1 et k=5 Ainsi : v′(x)=7. Il vient alors que : f′(x)=5×(7x−1)2−7
f′(x)=(7x−1)2−35
5
f(x)=cos(x)−2. On suppose que la fonction f est dérivable sur un intervalle I que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Correction
f est dérivable sur I. On peut écrire f(x)=cos(x)−2 sous la forme f(x)=−2×cos(x)1 On reconnaît la forme (k×v1)′=k×v2−v′ avec v(x)=cos(x) et k=−2 Ainsi : v′(x)=−sin(x). Il vient alors que : f′(x)=−2×(cos(x))2−(−sin(x)) f′(x)=(cos(x))2−2sin(x) Ainsi :
f′(x)=cos2(x)−2sin(x)
6
f(x)=−3x+12−2
Correction
f est dérivable sur R−{4} (on enlève la valeur interdite). On peut écrire f(x)=−3x+12−2 sous la forme f(x)=−2×−3x+121 On reconnaît la forme (k×v1)′=k×v2−v′ avec v(x)=−3x+12 et k=−2 Ainsi : v′(x)=−3. Il vient alors que : f′(x)=−2×(−3x+12)2−(−3)
f′(x)=(−3x+12)2−6
Exercice 2
Soit f la fonction définie et dérivable sur ]−∞;2[ par : f(x)=−6x+3+2x−45
1
Déterminer l'expression de f′ .
Correction
(v1)′=v2−v′
f est dérivable sur ]−∞;2[ . On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=2x−4 . Ainsi : v′(x)=2 Il vient alors que : f′(x)=−6+5×(2x−4)2−2
f′(x)=−6−(2x−4)210
Exercice 3
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
1
Soit la fonction f définie sur ]−3;3[ par f(x)=9−x21.
Correction
f est dérivable sur ]−3;3[. On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=9−x2 Ainsi : v′(x)=−2x. Il vient alors que : f′(x)=(9−x2)2−(−2x)
f′(x)=(9−x2)22x
2
f(x)=5−10x1.
Correction
f est dérivable sur R−{21} (on enlève la valeur interdite). On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=5−10x Ainsi : v′(x)=−10. Il vient alors que : f′(x)=(5−10x)2−(−10)
f′(x)=(5−10x)210
3
f(x)=3x1.
Correction
f est dérivable sur ]0;+∞[. On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=3x Ainsi : v′(x)=2x3. Il vient alors que : f′(x)=(3x)2−(2x3) f′(x)=9x−(2x3) f′(x)=2x−3×9x1
f′(x)=6xx−1
4
f(x)=9x−24.
Correction
f est dérivable sur R−{92} (on enlève la valeur interdite). On peut écrire f(x)=9x−24 sous la forme f(x)=4×9x−21 On reconnaît la forme (k×v1)′=k×v2−v′ avec v(x)=9x−2 et k=4 Ainsi : v′(x)=9. Il vient alors que : f′(x)=4×(9x−2)2−9
f′(x)=(9x−2)2−36
5
f(x)=sin(x)4. On suppose que la fonction f est dérivable sur un intervalle I que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Correction
f est dérivable sur I. On peut écrire f(x)=sin(x)4 sous la forme f(x)=4×sin(x)1 On reconnaît la forme (k×v1)′=k×v2−v′ avec v(x)=sin(x) et k=4 Ainsi : v′(x)=cos(x). Il vient alors que : f′(x)=4×(sin(x))2−(cos(x)) f′(x)=(sin(x))2−4cos(x) Ainsi :
f′(x)=−sin2(x)4cos(x)
6
f(x)=−6x+24−3
Correction
f est dérivable sur R−{4} (on enlève la valeur interdite). On peut écrire f(x)=−6x+24−3 sous la forme f(x)=−3×−6x+241 On reconnaît la forme (k×v1)′=k×v2−v′ avec v(x)=−6x+24 et k=−3 Ainsi : v′(x)=−6. Il vient alors que : f′(x)=−3×(−6x+24)2−(−6)
f′(x)=(−6x+24)2−18
Exercice 4
Soit f la fonction définie et dérivable sur ]−∞;37[ par : f(x)=−5x+9+3x−711
1
Déterminer l'expression de f′ .
Correction
(v1)′=v2−v′
f est dérivable sur ]−∞;37[ . On reconnaît la forme (v1)′=v2−v′ avec v(x)=3x−7 . Ainsi : v′(x)=3 Il vient alors que : f′(x)=−5+11×(3x−7)2−3
f′(x)=−5−(3x−7)233
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