Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

L'équation d'une parabole est de la forme $$f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ où $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont des réels.
D'après la représentation nous pouvons lire que :

$$f\left(0\right)=0$$

$$f\left(2\right)=4$$

$$f'\left(2\right)=1$$

Pour $$f\left(0\right)$$ et $$f\left(2\right)$$ cela est évident. Il s'agit tout simplement des images de $$0$$ et $$2$$ .
Nous allons expliquer comment nous avons obtenu . La droite $$\left(T\right)$$ admet comme coefficient directeur la valeur $$1$$. En effet, le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $$2$$ correspond au nombre dérivée $$f'\left(2\right)$$ et de ce fait $$f'\left(2\right)=1$$.
A partir de ces $$3$$ informations nous allons écrire un système d'équation :

$$f\left(0\right)=0$$ équivaut à $$a\times 0^{2} +b\times 0+c=0$$ ce qui donne :

$$c=0$$

$$f\left(2\right)=4$$ équivaut à $$a\times 2^{2} +b\times 2+c=4$$ ce qui donne : $$4a +2b+c=4$$ d'où

$$4a +2b=4$$

De plus, $$f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ ainsi $$f'\left(x\right)=2ax+b$$ . Or : $$f'\left(2\right)=1$$ . Il vient alors que :
$$2a\times 2+b=1$$ d'où
Nous avons donc un système deux équations à deux inconnues .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4a+b} & {=} & {1} \\ {4a+2b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode par substitution. Pour cela, on cherche une inconnue dont le coefficient vaut $$1$$. Ici, à la première ligne du système nous avons $${\color{red}b}$$. Nous allons donc exprimer $$b$$ en fonction de $$a$$. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}b}} & {=} & {1-4a} \\ {4a+2b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ . Nous allons maintenant remplacer $$b$$ par $$1-4a$$ dans la deuxième ligne .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {4a+2\times \left(1-4a\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {4a+2\times 1+2\times \left(-4a\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {4a+2-8a} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {-4a+2} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {-4a} & {=} & {4-2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {-4a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {a} & {=} & {\frac{2}{-4} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4a} \\ {a} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$ . Maintenant, nous connaissons la valeur de $$a$$, il suffit de remplacer dans la première ligne le $$a$$ par $$-\frac{1}{2}$$. Il vient :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1-4\times \left(-\frac{1}{2} \right)} \\ {a} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1+2} \\ {a} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {3} \\ {a} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
Le couple solution du système est alors :
Nous connaissons maintenant les valeurs de $$a$$, $$b$$ et $$c$$ . Nous pouvons donc écrire que :