Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

Nous savons donc, de manière générale, que l'équation de la tangente est de la forme $$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ . Si nous développons cette expression, on obtiendrait :
$$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ . Le terme en bleu correspond donc au coefficient directeur de cette droite .
Or nous voulons que $$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ soit parallèle à l'axe des abscisses. Or le coefficient directeur d'une tangente parallèle à l'axe des abscisses est égale à $${\color{blue}{0}}$$ .
Or deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Il en résulte donc que :
$$f'\left(a\right)=0$$ . Comme $$a$$ est une abscisse que l'on recherche, nous allons prendre $$x$$ à la place de $$a$$ comme inconnue pour faciliter nos calculs. (enfin c'est pour revenir à des équations classiques avec des $$x$$).
Nous voulons donc résoudre l'équation :
$$f'\left(x\right)=0$$ . Comme $$f\left(x\right)=x^{2}-10x+3$$ alors $$f'\left(x\right)=2x-8$$. D'où :
$$2x-8=0$$ équivaut successivement à :
$$2x=8$$
$$x=\frac{8}{2}$$

Il existe une tangente à $$\mathscr{C_{f}}$$ parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $$x=4$$ .