Dérivation

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

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Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2+6x+1f\left(x\right)=2x^{2}+6x+1 . Soit Cf\mathscr{C_{f}} sa courbe représentative.
Question 1

Peut-on trouver une tangente à Cf\mathscr{C_{f}} parallèle à la droite d’équation y=8x6y=8x-6 .

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Nous savons donc, de manière générale, que l'équation de la tangente est de la forme y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right) . Si nous développons cette expression, on obtiendrait :
y=f(a)×xf(a)×a+f(a)y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right) . Le terme en bleu correspond donc au coefficient directeur de cette droite .
Or nous voulons que y=f(a)×xf(a)×a+f(a)y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right) soit parallèle à la droite d'équation y=8x6y={\color{blue}{8}}x-6.
Or deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Il en résulte donc que :
f(a)=8f'\left(a\right)=8 . Comme aa est une abscisse que l'on recherche, nous allons prendre xx à la place de aa comme inconnue pour faciliter nos calculs. (enfin c'est pour revenir à des équations classiques avec des xx).
Nous voulons donc résoudre l'équation :
f(x)=8f'\left(x\right)=8 . Comme f(x)=2x2+6x+1f\left(x\right)=2x^{2}+6x+1 alors f(x)=4x+6f'\left(x\right)=4x+6. D'où :
4x+6=84x+6=8 équivaut successivement à :
4x=864x=8-6
4x=24x=2
x=24x=\frac{2}{4}
x=12x=\frac{1}{2}

Il existe une tangente à Cf\mathscr{C_{f}} parallèle à la droite y=8x6y=8x-6 au point d'abscisse x=12x=\frac{1}{2}