Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

Nous savons donc, de manière générale, que l'équation de la tangente est de la forme $$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ . Si nous développons cette expression, on obtiendrait :
$$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ . Le terme en bleu correspond donc au coefficient directeur de cette droite .
Or nous voulons que $$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ soit parallèle à la droite d'équation $$y={\color{blue}{8}}x-6$$.
Or deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Il en résulte donc que :
$$f'\left(a\right)=8$$ . Comme $$a$$ est une abscisse que l'on recherche, nous allons prendre $$x$$ à la place de $$a$$ comme inconnue pour faciliter nos calculs. (enfin c'est pour revenir à des équations classiques avec des $$x$$).
Nous voulons donc résoudre l'équation :
$$f'\left(x\right)=8$$ . Comme $$f\left(x\right)=2x^{2}+6x+1$$ alors $$f'\left(x\right)=4x+6$$. D'où :
$$4x+6=8$$ équivaut successivement à :
$$4x=8-6$$
$$4x=2$$
$$x=\frac{2}{4}$$

Il existe une tangente à $$\mathscr{C_{f}}$$ parallèle à la droite $$y=8x-6$$ au point d'abscisse $$x=\frac{1}{2}$$