Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

Nous savons que $$f\left(x\right)=ax^{3}+bx+c$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
La dérivée de $$f$$ est alors : $$f'\left(x\right)=3ax^{2}+b$$.
Nous savons également que : $$f\left(1\right)=5$$ ; $$f'\left(0\right)=-4$$ et $$f'\left(1\right)=2$$.
Ainsi :

• $$f\left(1\right)=5\Leftrightarrow a\times 1^{3} +b\times 1+c=5\Leftrightarrow a+b+c=5$$
• $$f'\left(0\right)=-4\Leftrightarrow 3\times a\times 0^{2} +b=-4\Leftrightarrow b=-4$$
• $$f'\left(1\right)=2\Leftrightarrow 3\times a\times 1^{2} +b=2\Leftrightarrow 3a+b=2$$

Il nous faut donc résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a+b+c} & {=} & {5} \\ {b} & {=} & {-4} \\ {3a+b} & {=} & {2} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a-4+c} & {=} & {5} \\ {b} & {=} & {-4} \\ {3a-4} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a+c} & {=} & {9} \\ {b} & {=} & {-4} \\ {3a} & {=} & {6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a+c} & {=} & {9} \\ {b} & {=} & {-4} \\ {a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2+c} & {=} & {9} \\ {b} & {=} & {-4} \\ {a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {7} \\ {b} & {=} & {-4} \\ {a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Finalement , la fonction $$f$$ s'écrit :