Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

La parabole $$P$$ représentant $$f$$ passe par les points $$A\left(0;1\right)$$ et $$B\left(4;1\right)$$ . Cela signifie que et .
L'équation de la tangente à $$P$$ au point d'abscisse $$B$$ admet pour équation $$y=4x-15$$. Cela signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $$B$$ d'abscisse $$4$$ est égale au coefficient directeur de la droite $$4x-15$$. Autrement dit :

Nous savons que $$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$$ et $$f\left(0\right)=1$$. Cela se traduit par :
$$a\times0^{2}+b\times0+c=1$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$
Nous savons que $$f\left(4\right)=1$$. Cela se traduit par :
$$a\times4^{2}+b\times4+c=1$$
$$16a+4b+c=1$$ . Or $$c=1$$, d'où :
$$16a+4b+1=1$$
$$16a+4b=0$$ . Nous pouvons tout simplifier par $$4$$.

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
De plus, nous savons que : $$f'\left(x\right)=2ax+b$$ . Or $$f'\left(4\right)=4$$ , cela nous donne :
$$2a\times4+b=4$$

Nous obtenons alors le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4a+b} & {=} & {0} \\ {8a+b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$

Il nous faut résoudre le système $$\left\{\begin{array}{ccc} {4a+b} & {=} & {0} \\ {8a+b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ Pour cela, utilisons la méthode par substitution :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-4a} \\ {8a-4a} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-4a} \\ {4a} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-4\times1} \\ {a} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-4} \\ {a} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que :