Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse a - Exercice 5
10 min
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Soit f une fonction définie sur R par f(x)=x3 . Soit Cf sa courbe représentative.
Question 1
Peut-on trouver une tangente à Cf parallèle à la droite d’équation y=3x−4 .
Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a).
Nous savons donc, de manière générale, que l'équation de la tangente est de la forme y=f′(a)(x−a)+f(a) . Si nous développons cette expression, on obtiendrait : y=f′(a)×x−f′(a)×a+f(a) . Le terme en bleu correspond donc au coefficient directeur de cette droite . Or nous voulons que y=f′(a)×x−f′(a)×a+f(a) soit parallèle à la droite d'équation y=3x−4. Or deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Il en résulte donc que : f′(a)=3 . Comme a est une abscisse que l'on recherche, nous allons prendre x à la place de a comme inconnue pour faciliter nos calculs. (enfin c'est pour revenir à des équations classiques avec des x). Nous voulons donc résoudre l'équation : f′(x)=3 . Comme f(x)=x3 alors f′(x)=3x2. D'où : 3x2=3 équivaut successivement à : x2=33 x2=1 x=1 ou x=−1
x=1 ou x=−1
Il existe deux tangentes à Cf parallèle à la droite y=3x−4 respectivement au point d'abscisse x=−1 ou au point d'abscisse x=1.
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