Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $$a$$ - Exercice 4

Nous savons donc, de manière générale, que l'équation de la tangente est de la forme $$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ . Si nous développons cette expression, on obtiendrait :
$$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ . Le terme en bleu correspond donc au coefficient directeur de cette droite .
Or nous voulons que $$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ soit parallèle à la droite d'équation $$y={\color{blue}{2}}x-3$$.
Or deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Il en résulte donc que :
$$f'\left(a\right)=2$$ . Comme $$a$$ est une abscisse que l'on recherche, nous allons prendre $$x$$ à la place de $$a$$ comme inconnue pour faciliter nos calculs. (enfin c'est pour revenir à des équations classiques avec des $$x$$).
Nous voulons donc résoudre l'équation :
$$f'\left(x\right)=2$$ . Comme $$f\left(x\right)=5x^{2}+2x-\frac{1}{2}$$ alors $$f'\left(x\right)=10x+2$$. D'où :
$$10x+2=2$$ équivaut successivement à :
$$10x=2-2$$
$$10x=0$$
$$x=\frac{0}{10}$$

Il existe une tangente à $$\mathscr{C_{f}}$$ parallèle à la droite $$y=2x-3$$ au point d'abscisse $$x=0$$ .