Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $$a$$ - Exercice 2

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-2\times 2x+3$$
$$f'\left(x\right)=-4x+3$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5$$
$$f\left(1\right)=-4$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=-4\times 1+3$$
$$f'\left(1\right)=-1$$
$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4$$
$$y=-x+1-4$$
$$y=-x-3$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-x-3$$.

Ici $$a=2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3$$
$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +3$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5$$
$$f\left(2\right)=-7$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(2\right)$$
$$f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3$$
$$f'\left(2\right)=-9$$
$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$
$$y=-9\times \left(x-2\right)-7$$
$$y=-9x+18-7$$
$$y=-9x+11$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$2$$ est alors $$y=-9x+11.$$

Ici $$a=-1$$, on a alors $$y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)$$ ce qui donne : $$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=3x-1$$ et $$v\left(x\right)=2x+6$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times \left(2x+6\right)+\left(3x-1\right)\times 2$$
$$f'\left(x\right)=6x+18+6x-2$$
$$f'\left(x\right)=12x+16$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(-1\right)$$
$$f\left(-1\right)=\left(3\times \left(-1\right)-1\right)\times \left(2\times \left(-1\right)+6\right)$$
$$f\left(-1\right)=\left(-3-1\right)\times \left(-2+6\right)$$
$$f\left(-1\right)=\left(-4\right)\times 4$$
$$f\left(-1\right)=-16$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(-1\right)$$
$$f'\left(-1\right)=12\times \left(-1\right)+16$$
$$f'\left(-1\right)=-12+16$$
$$f'\left(-1\right)=4$$
$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(-1\right)$$ et de $$f'\left(-1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$
$$y=4\times \left(x+1\right)-16$$
$$y=4x+4-16$$
$$y=4x-12$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$au point d'abscisse $$-1$$ est alors $$y=4x-12.$$

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-5\times 2x+2$$
$$f'\left(x\right)=-10x+2$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=-5\times 0^{2} +2\times 0-1$$
$$f\left(0\right)=-1$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=-10\times 0+2$$
$$f'\left(0\right)=2$$
$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=2\times \left(x-0\right)-1$$
$$y=2x-1$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=2x-1$$.

Ici $$a=-2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right)$$ que l'on peut écrire $$y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x-1$$ et $$v\left(x\right)=4x+3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=4$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x+3\right)-\left(2x-1\right)\times 4}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times 4x+2\times 3-\left(2x\times 4-1\times 4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{8x+6-\left(8x-4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{8x+6-8x+4}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{10}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(-2\right)$$
$$f\left(-2\right)=\frac{2\times\left(-2\right)-1}{4\times\left(-2\right)+3}$$
$$f\left(-2\right)=1$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(-2\right)$$
$$f'\left(-2\right)=\frac{10}{\left(4\times\left(-2\right)+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(-2\right)=\frac{2}{5}$$
$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(-2\right)$$ et de $$f'\left(-2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$
$$y=\frac{2}{5}\times \left(x+2\right)+1$$
$$y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}+1$$
$$y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$-2$$ est alors $$y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$$.