Dérivation

Calculs de dérivées usuelles - Exercice 1

10 min
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Pour les fonctions suivantes, définies et dérivables sur R\mathbb{R}, calculer la fonction dérivée :
Question 1

f(x)=3x4f\left(x\right)=3x-4

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=3f'\left(x\right)=3
    Question 2

    f(x)=x+8f\left(x\right)=-x+8

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=1f'\left(x\right)=-1
    Question 3

    f(x)=3x2+5x+2f\left(x\right)=3x^{2} +5x+2

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=3×2x21+5f'\left(x\right)=3\times 2x^{2-1}+5
    f(x)=3×2x+5f'\left(x\right)=3\times 2x+5
    f(x)=6x+5f'\left(x\right)=6x+5
    Question 4

    f(x)=5x23x+12f\left(x\right)=-5x^{2} -3x+\frac{1}{2}

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=5×2x3f'\left(x\right)=-5\times 2x-3
    f(x)=10x3f'\left(x\right)=-10x-3
    Question 5

    f(x)=5x4+2x3+5x22x+1f\left(x\right)=5x^{4} +2x^{3} +5x^{2} -2x+1

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=5×4x41+2×3x31+5×2x212f'\left(x\right)=5\times 4x^{4-1} +2\times 3x^{3-1} +5\times 2x^{2-1} -2
    f(x)=5×4x3+2×3x2+5×2x2f'\left(x\right)=5\times 4x^{3} +2\times 3x^{2} +5\times 2x-2
    f(x)=20x3+6x2+10x2f'\left(x\right)=20x^{3} +6x^{2} +10x-2
    Question 6

    f(x)=3x45x3+3x27x+11f\left(x\right)=3x^{4} -5x^{3} +3x^{2} -7x+11

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=3×4x415×3x31+3×2x217f'\left(x\right)=3\times 4x^{4-1} -5\times 3x^{3-1} +3\times 2x^{2-1} -7
    f(x)=3×4x35×3x2+3×2x7f'\left(x\right)=3\times 4x^{3} -5\times 3x^{2} +3\times 2x-7
    f(x)=12x315x2+6x7f'\left(x\right)=12x^{3} -15x^{2} +6x-7

    Question 7

    f(x)=x2+5x32f\left(x\right)=\frac{x^{2} +5x-3}{2}

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
  • Dans un premier temps, nous allons écrire différement l'expression de ff.
    On a alors :
    f(x)=x2+5x32f\left(x\right)=\frac{x^{2} +5x-3}{2}
    f(x)=x22+5x232f\left(x\right)=\frac{x^{2} }{2} +\frac{5x}{2} -\frac{3}{2}
    f(x)=12x2+52x32f\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} +\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}
    C'est à partir de cette expresion que nous allons calculer la dérivée de ff. Il s'ensuit que :
    f(x)=12×2x21+52f'\left(x\right)=\frac{1}{2} \times 2x^{2-1} +\frac{5}{2}
    f(x)=x+52f'\left(x\right)=x+\frac{5}{2}