Dérivation
Calculs de dérivées usuelles
Exercice 1
Pour les fonctions suivantes, définies et dérivables sur R, calculer la fonction dérivée :
1
f(x)=3x−4
Correction
f′(x)=3
2
f(x)=−x+8
Correction
f′(x)=−1
3
f(x)=3x2+5x+2
Correction
f′(x)=3×2x2−1+5
f′(x)=3×2x+5
f′(x)=6x+5
4
f(x)=−5x2−3x+21
Correction
f′(x)=−5×2x−3
f′(x)=−10x−3
5
f(x)=5x4+2x3+5x2−2x+1
Correction
f′(x)=5×4x4−1+2×3x3−1+5×2x2−1−2
f′(x)=5×4x3+2×3x2+5×2x−2
f′(x)=20x3+6x2+10x−2
6
f(x)=3x4−5x3+3x2−7x+11
Correction
f′(x)=3×4x4−1−5×3x3−1+3×2x2−1−7
f′(x)=3×4x3−5×3x2+3×2x−7
f′(x)=12x3−15x2+6x−7
7
f(x)=2x2+5x−3
Correction
On a alors :
f(x)=2x2+5x−3
f(x)=2x2+25x−23
f(x)=21x2+25x−23
C'est à partir de cette expresion que nous allons calculer la dérivée de f. Il s'ensuit que :
f′(x)=21×2x2−1+25
f′(x)=x+25
Exercice 2
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
1
f(x)=2x2−5x+6
Correction
On va commencer par décomposer l'expression de f.
f(x)=2x2−25x+26
f(x)=21x2−25x+3
On va maintenant calculer la dérivée de f, il vient alors que :
f′(x)=21×2x−25
f′(x)=x−25
2
f(x)=3x+x2−1
Correction
f′(x)=2x3−x22
3
f(x)=−5x−x3+6x2
Correction
f′(x)=2x−5−x2−3+12x
f′(x)=2x−5+x23+12x
4
f(x)=25+3x2
Correction
f est dérivable sur R.
On va commencer par écrire de manière plus simple l'expression de f.
f(x)=25+31×x2 . Ici, il va falloir être vigilant car 25 est un réel et ne dépend pas de x donc sa dérivée est nulle :)
f′(x)=31×2x
On va commencer par écrire de manière plus simple l'expression de f.
f(x)=25+31×x2 . Ici, il va falloir être vigilant car 25 est un réel et ne dépend pas de x donc sa dérivée est nulle :)
f′(x)=31×2x
f′(x)=32x
5
f(x)=9x3−14x−x4
Correction
f′(x)=27x2−2x−14−x2−4
f′(x)=27x2+x7+x24
6
f(x)=52x4−3x2+10
Correction
On va commencer par décomposer l'expression de f.
f(x)=52x4−53x2+510
f(x)=52x4−53x2+2
On va maintenant calculer la dérivée de f, il vient alors que :
f′(x)=52×4x3−53×2x
f′(x)=58x3−56x
Exercice 3
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
1
f(x)=6x5−3x4−7x2−9x+21
Correction
f′(x)=6×5x5−1−3×4x4−1−7×2x2−1−9
f′(x)=6×5x4−3×4x3−7×2x−9
f′(x)=30x4−12x3−14x−9
2
f(x)=−3x8−2x5+2x3+x+2
Correction
f′(x)=−3×8x8−1−2×5x5−1+2×3x3−1+1
f′(x)=−3×8x7−2×5x4+2×3x2+1
f′(x)=−24x7−10x4+6x2+1
3
f(x)=7x6+3x4−x2−23x+11
Correction
f′(x)=7×6x6−1+3×4x4−1−2x2−1−23
f′(x)=7×6x5+3×4x3−2×x−23
f′(x)=42x5+12x3−2x−23
4
f(x)=8x9−5x8−3x5+2x4+11x−1
Correction
f′(x)=8×9x8−5×8x7−3×5x4+2×4x3+11
f′(x)=72x8−40x7−15x4+8x3+11
5
f(x)=3x11+2x9−5x5−23x4+6x2−9
Correction
f′(x)=3×11x10+2×9x8−5×5x4−23×4x3+6×2x
f′(x)=33x10+18x8−25x4−6x3+12x
6
f(x)=−3x7−2x6+4x5−3x3+11x2−6x+1
Correction
f′(x)=−3×7x6−2×6x5+4×5x4−3×3x2+11×2x−6
f′(x)=−21x6−12x5+20x4−9x2+22x−6
Exercice 4
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
1
f(x)=3x6−5x4+11x3−2x+41
Correction
f′(x)=3×6x6−1−5×4x4−1+11×3x3−1−2
f′(x)=3×6x5−5×4x3+11×3x2−2
f′(x)=18x5−20x3−33x2−2
2
f(x)=−6x7−4x4+7x2+12x−1
Correction
f′(x)=−6×7x7−1−4×4x4−1+7×2x2−1+12
f′(x)=−6×7x6−4×4x3+7×2x+12
f′(x)=−42x6−16x3+14x+12
3
f(x)=10x4+8x3−4x2+65x+3
Correction
f′(x)=10×4x4−1+8×3x3−1−4×2x+65
f′(x)=10×4x3+8×3x2−4×2x+65
f′(x)=40x3+24x2−8x+65
4
f(x)=4x8−5x7−2x6+213x2+x−21
Correction
f′(x)=4×8x8−1−5×7x7−1−2×6x6−1+213×2x+1
f′(x)=4×8x7−5×7x6−2×6x5+213×2x+1
f′(x)=32x7−35x6−12x5+13x+1
5
f(x)=2x12+x10−5x8−97x3+9x2−16
Correction
f′(x)=2×12x11+10×x9−5×8x7−97×3x2+9×2x
f′(x)=24x11+10x9−40x7−37x2+18x
6
f(x)=−8x8−6x5+9x4−13x3+15x2−26x−45
Correction
f′(x)=−8×8x7−6×5x4+9×4x3−13×3x2+15×2x−26
f′(x)=−64x7−30x4+36x3−39x2+30x−26
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