Calculs de dérivées : sommes nous prêt ! Nous allons voir ca :) - Exercice 2

Soit $$f\left(x\right)=3x^{7} -6x^{5} +4x^{3} -x+9$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=3\times 7x^{6} -6\times 5x^{4} +4\times 3x^{2}-1$$

Soit $$f\left(x\right)=\frac{5}{x} -7\sqrt{x} +2\sqrt{3} -3$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty;0\right[$$ .
Ainsi :

$$\text{\red{Attention :}}$$ dans cette question, $$2\sqrt{3} -3$$ est une constante ce qui signifie la dérivée de $$2\sqrt{3} -3$$ est nulle.

Soit $$f\left(x\right)=\left(3x^{2} -4x\right)\left(7x-2\right)$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=3x^{2} -4x$$ et $$v\left(x\right)=7x-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x-4$$ et $$v'\left(x\right)=7$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(6x-4\right)\left(7x-2\right)+\left(3x^{2} -4x\right)\times 7$$
$$f'\left(x\right)=6x\times 7x+6x\times \left(-2\right)+\left(-4\right)\times 7x+\left(-4\right)\times \left(-2\right)+3x^{2} \times 7+\left(-4x\right)\times 7$$
$$f'\left(x\right)=42x^{2} -12x-28x+8+21x^{2} -28x$$

Soit $$f\left(x\right)=\frac{5x-2}{x^{2} +2}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=5x-2$$ et $$v\left(x\right)=x^{2} +2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=5$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{5\times \left(x^{2} +2\right)-\left(5x-2\right)\times 2x}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{5\times x^{2} +5\times 2-\left(5x\times 2x+\left(-2\right)\times 2x\right)}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{5x^{2} +10-\left(10x^{2} -4x\right)}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{5x^{2} +10-10x^{2} +4x}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }$$

$$f\left(x\right)=\frac{3}{x} +6\sqrt{\red{7}x-28} +4$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]4;+\infty\right[$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2} } +6\times \frac{\red{7}}{2\sqrt{\red{7}x-28} }$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2} }+ \frac{42}{2\sqrt{7x-28} }$$

Soit $$f\left(x\right)=11x+5\left(\red{3}x-1\right)^{\purple{6}}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
$$f'\left(x\right)=11+5\times \red{3}\times \purple{6}\times \left(\red{3}x-1\right)^{6-1}$$