Dérivation

Calculs de dérivées : sommes nous prêt ! Nous allons voir ca :) - Exercice 2

12 min
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Question 1
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée sur l'intervalle II donnée :

f(x)=3x7−6x5+4x3−x+9f\left(x\right)=3x^{7} -6x^{5} +4x^{3} -x+9 ; I=RI=\mathbb{R}

Correction
Soit f(x)=3x7−6x5+4x3−x+9f\left(x\right)=3x^{7} -6x^{5} +4x^{3} -x+9
ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
Ainsi :
f′(x)=3×7x6−6×5x4+4×3x2−1f'\left(x\right)=3\times 7x^{6} -6\times 5x^{4} +4\times 3x^{2}-1
f′(x)=21x6−30x4+12x2−1f'\left(x\right)=21x^{6} -30x^{4} +12x^{2}-1

Question 2

f(x)=5x−7x+23−3f\left(x\right)=\frac{5}{x} -7\sqrt{x} +2\sqrt{3} -3 ; I=]−∞;0[I=\left]-\infty;0\right[

Correction
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre \times\sqrt{x}} est nombre2x.{\color{blue}\frac{nombre}{2\sqrt{x}}} .
  • La dérivée d'un nombrex{\color{blue}\frac{nombre}{x}} est −nombrex2{\color{blue}\frac{-nombre}{x^{2}}}
    • Soit f(x)=5x−7x+23−3f\left(x\right)=\frac{5}{x} -7\sqrt{x} +2\sqrt{3} -3
    ff est dérivable sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ .
    Ainsi :
    f′(x)=−5x2−72xf'\left(x\right)=-\frac{5}{x^{2}} -\frac{7}{2\sqrt{x} }

    Attention :\text{\red{Attention :}} dans cette question, 23−32\sqrt{3} -3 est une constante ce qui signifie la dérivée de 23−32\sqrt{3} -3 est nulle.
    Question 3

    f(x)=(3x2−4x)(7x−2)f\left(x\right)=\left(3x^{2} -4x\right)\left(7x-2\right) ; I=RI=\mathbb{R}

    Correction
    Soit f(x)=(3x2−4x)(7x−2)f\left(x\right)=\left(3x^{2} -4x\right)\left(7x-2\right)
    ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=3x2−4xu\left(x\right)=3x^{2} -4x et v(x)=7x−2v\left(x\right)=7x-2
    Ainsi : u′(x)=6x−4u'\left(x\right)=6x-4 et v′(x)=7v'\left(x\right)=7.
    Il vient alors que :
    f′(x)=(6x−4)(7x−2)+(3x2−4x)×7f'\left(x\right)=\left(6x-4\right)\left(7x-2\right)+\left(3x^{2} -4x\right)\times 7
    f′(x)=6x×7x+6x×(−2)+(−4)×7x+(−4)×(−2)+3x2×7+(−4x)×7f'\left(x\right)=6x\times 7x+6x\times \left(-2\right)+\left(-4\right)\times 7x+\left(-4\right)\times \left(-2\right)+3x^{2} \times 7+\left(-4x\right)\times 7
    f′(x)=42x2−12x−28x+8+21x2−28xf'\left(x\right)=42x^{2} -12x-28x+8+21x^{2} -28x
    f′(x)=63x2−68x+8f'\left(x\right)=63x^{2} -68x+8

    Question 4

    f(x)=5x−2x2+2f\left(x\right)=\frac{5x-2}{x^{2} +2} ; I=RI=\mathbb{R}

    Correction
    Soit f(x)=5x−2x2+2f\left(x\right)=\frac{5x-2}{x^{2} +2}
    ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=5x−2u\left(x\right)=5x-2 et v(x)=x2+2v\left(x\right)=x^{2} +2
    Ainsi : u′(x)=5u'\left(x\right)=5 et v′(x)=2xv'\left(x\right)=2x.
    Il vient alors que :
    f′(x)=5×(x2+2)−(5x−2)×2x(x2+2)2f'\left(x\right)=\frac{5\times \left(x^{2} +2\right)-\left(5x-2\right)\times 2x}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }
    f′(x)=5×x2+5×2−(5x×2x+(−2)×2x)(x2+2)2f'\left(x\right)=\frac{5\times x^{2} +5\times 2-\left(5x\times 2x+\left(-2\right)\times 2x\right)}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }
    f′(x)=5x2+10−(10x2−4x)(x2+2)2f'\left(x\right)=\frac{5x^{2} +10-\left(10x^{2} -4x\right)}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }
    f′(x)=5x2+10−10x2+4x(x2+2)2f'\left(x\right)=\frac{5x^{2} +10-10x^{2} +4x}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }
    f′(x)=−5x2+4x+10(x2+2)2f'\left(x\right)=\frac{-5x^{2} +4x+10}{\left(x^{2} +2\right)^{2} }

    Question 5

    f(x)=3x+67x−28+4f\left(x\right)=\frac{3}{x} +6\sqrt{7x-28} +4 ; I=]4;+∞[I=\left]4;+\infty\right[

    Correction
    • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
    • La dérivée d'un nombrex{\color{blue}\frac{nombre}{x}} est −nombrex2{\color{blue}\frac{-nombre}{x^{2}}}
    f(x)=3x+67x−28+4f\left(x\right)=\frac{3}{x} +6\sqrt{\red{7}x-28} +4 .
    ff est dérivable sur ]4;+∞[\left]4;+\infty\right[
    f′(x)=−3x2+6×727x−28f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2} } +6\times \frac{\red{7}}{2\sqrt{\red{7}x-28} }
    f′(x)=−3x2+4227x−28f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2} }+ \frac{42}{2\sqrt{7x-28} }
    f′(x)=−3x2+217x−28f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2} } +\frac{21}{\sqrt{7x-28} }

    Question 6

    f(x)=11x+5(3x−1)6f\left(x\right)=11x+5\left(3x-1\right)^{6} ; I=RI=\mathbb{R}

    Correction
    • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
    Soit f(x)=11x+5(3x−1)6f\left(x\right)=11x+5\left(\red{3}x-1\right)^{\purple{6}}
    ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
    f′(x)=11+5×3×6×(3x−1)6−1f'\left(x\right)=11+5\times \red{3}\times \purple{6}\times \left(\red{3}x-1\right)^{6-1}
    f′(x)=11+90(3x−1)5f'\left(x\right)=11+90\left(3x-1\right)^{5}