Calculs de dérivées : sommes nous prêt ! Nous allons voir ca :) - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=2x^{8} -5x^{4} +4x^{2} -7x+11$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=2\times 8x^{7} -5\times 4x^{3} +4\times 2x-7$$

Soit $$f\left(x\right)=\frac{3}{x} -5\sqrt{x} +\sqrt{2} -1$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty;0\right[$$ .
Ainsi :

$$\text{\red{Attention :}}$$ dans cette question, $$\sqrt{2} -1$$ est une constante ce qui signifie la dérivée de $$\sqrt{2} -1$$ est nulle.

Soit $$f\left(x\right)=\left(x^{2} -3x\right)\left(5x-1\right)$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2} -3x$$ et $$v\left(x\right)=5x-1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x-3$$ et $$v'\left(x\right)=5$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(5x-1\right)+\left(x^{2} -3x\right)\times 5$$
$$f'\left(x\right)=2x\times 5x+2x\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times 5x+\left(-3\right)\times \left(-1\right)+x^{2} \times 5+\left(-3x\right)\times 5$$
$$f'\left(x\right)=10x^{2} -2x-15x+3+5x^{2} -15x$$

Soit $$f\left(x\right)=\frac{3x-7}{x^{2} +4}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=3x-7$$ et $$v\left(x\right)=x^{2} +4$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{3\times \left(x^{2} +4\right)-\left(3x-7\right)\times 2x}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3\times x^{2} +3\times 4-\left(3x\times 2x+\left(-7\right)\times 2x\right)}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} +12-\left(6x^{2} -14x\right)}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} +12-6x^{2} +14x}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }$$

$$f\left(x\right)=\frac{2}{x} +5\sqrt{\red{3}x-21} +7$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]7;+\infty\right[$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2} } +5\times \frac{\red{3}}{2\sqrt{\red{3}x-21} }$$

Soit $$f\left(x\right)=3x+4\left(\red{2}x-1\right)^{\purple{7}}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
$$f'\left(x\right)=3+4\times \red{2}\times \purple{7}\times \left(\red{2}x-1\right)^{6}$$