Calculs de dérivées : sommes nous prêt ! Nous allons voir ca :) - Exercice 1

12 min
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Question 1
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée sur l'intervalle II donnée :

f(x)=2x8−5x4+4x2−7x+11f\left(x\right)=2x^{8} -5x^{4} +4x^{2} -7x+11 ; I=RI=\mathbb{R}

Correction
Soit f(x)=2x8−5x4+4x2−7x+11f\left(x\right)=2x^{8} -5x^{4} +4x^{2} -7x+11
ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
Ainsi :
f′(x)=2×8x7−5×4x3+4×2x−7f'\left(x\right)=2\times 8x^{7} -5\times 4x^{3} +4\times 2x-7
f′(x)=16x7−20x3+8x−7f'\left(x\right)=16x^{7} -20x^{3} +8x-7

Question 2

f(x)=3x−5x+2−1f\left(x\right)=\frac{3}{x} -5\sqrt{x} +\sqrt{2} -1 ; I=]−∞;0[I=\left]-\infty;0\right[

Correction
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre \times\sqrt{x}} est nombre2x.{\color{blue}\frac{nombre}{2\sqrt{x}}} .
  • La dérivée d'un nombrex{\color{blue}\frac{nombre}{x}} est −nombrex2{\color{blue}\frac{-nombre}{x^{2}}}
    • Soit f(x)=3x−5x+2−1f\left(x\right)=\frac{3}{x} -5\sqrt{x} +\sqrt{2} -1
    ff est dérivable sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ .
    Ainsi :
    f′(x)=−3x2−52xf'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2}} -\frac{5}{2\sqrt{x} }

    Attention :\text{\red{Attention :}} dans cette question, 2−1\sqrt{2} -1 est une constante ce qui signifie la dérivée de 2−1\sqrt{2} -1 est nulle.
    Question 3

    f(x)=(x2−3x)(5x−1)f\left(x\right)=\left(x^{2} -3x\right)\left(5x-1\right) ; I=RI=\mathbb{R}

    Correction
    Soit f(x)=(x2−3x)(5x−1)f\left(x\right)=\left(x^{2} -3x\right)\left(5x-1\right)
    ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=x2−3xu\left(x\right)=x^{2} -3x et v(x)=5x−1v\left(x\right)=5x-1
    Ainsi : u′(x)=2x−3u'\left(x\right)=2x-3 et v′(x)=5v'\left(x\right)=5.
    Il vient alors que :
    f′(x)=(2x−3)(5x−1)+(x2−3x)×5f'\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(5x-1\right)+\left(x^{2} -3x\right)\times 5
    f′(x)=2x×5x+2x×(−1)+(−3)×5x+(−3)×(−1)+x2×5+(−3x)×5f'\left(x\right)=2x\times 5x+2x\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times 5x+\left(-3\right)\times \left(-1\right)+x^{2} \times 5+\left(-3x\right)\times 5
    f′(x)=10x2−2x−15x+3+5x2−15xf'\left(x\right)=10x^{2} -2x-15x+3+5x^{2} -15x
    f′(x)=15x2−32x+3f'\left(x\right)=15x^{2} -32x+3

    Question 4

    f(x)=3x−7x2+4f\left(x\right)=\frac{3x-7}{x^{2} +4} ; I=RI=\mathbb{R}

    Correction
    Soit f(x)=3x−7x2+4f\left(x\right)=\frac{3x-7}{x^{2} +4}
    ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=3x−7u\left(x\right)=3x-7 et v(x)=x2+4v\left(x\right)=x^{2} +4
    Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=2xv'\left(x\right)=2x.
    Il vient alors que :
    f′(x)=3×(x2+4)−(3x−7)×2x(x2+4)2f'\left(x\right)=\frac{3\times \left(x^{2} +4\right)-\left(3x-7\right)\times 2x}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }
    f′(x)=3×x2+3×4−(3x×2x+(−7)×2x)(x2+4)2f'\left(x\right)=\frac{3\times x^{2} +3\times 4-\left(3x\times 2x+\left(-7\right)\times 2x\right)}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }
    f′(x)=3x2+12−(6x2−14x)(x2+4)2f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} +12-\left(6x^{2} -14x\right)}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }
    f′(x)=3x2+12−6x2+14x(x2+4)2f'\left(x\right)=\frac{3x^{2} +12-6x^{2} +14x}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }
    f′(x)=−3x2+14x+12(x2+4)2f'\left(x\right)=\frac{-3x^{2} +14x+12}{\left(x^{2} +4\right)^{2} }

    Question 5

    f(x)=2x+53x−21+7f\left(x\right)=\frac{2}{x} +5\sqrt{3x-21} +7 ; I=]7;+∞[I=\left]7;+\infty\right[

    Correction
    • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
    • La dérivée d'un nombrex{\color{blue}\frac{nombre}{x}} est −nombrex2{\color{blue}\frac{-nombre}{x^{2}}}
    f(x)=2x+53x−21+7f\left(x\right)=\frac{2}{x} +5\sqrt{\red{3}x-21} +7 .
    ff est dérivable sur ]7;+∞[\left]7;+\infty\right[
    f′(x)=−2x2+5×323x−21f'\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2} } +5\times \frac{\red{3}}{2\sqrt{\red{3}x-21} }
    f′(x)=−2x2+1523x−21f'\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2} } +\frac{15}{2\sqrt{3x-21} }

    Question 6

    f(x)=3x+4(2x−1)7f\left(x\right)=3x+4\left(2x-1\right)^{7} ; I=RI=\mathbb{R}

    Correction
    • ((ax+b)n)′=a×n×(ax+b)n−1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
    Soit f(x)=3x+4(2x−1)7f\left(x\right)=3x+4\left(\red{2}x-1\right)^{\purple{7}}
    ff est dérivable sur R \mathbb{R} .
    f′(x)=3+4×2×7×(2x−1)6f'\left(x\right)=3+4\times \red{2}\times \purple{7}\times \left(\red{2}x-1\right)^{6}
    f′(x)=3+56(2x−1)6f'\left(x\right)=3+56\left(2x-1\right)^{6}

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