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Applications de la dérivation
Les dérivées des fonctions composées :
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(ax+b\right)^{n} \right)^{'} =a\times n\times \left(ax+b\right)^{n-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
- Exercice 2
8 min
20
Question 1
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
−
2
5
x
−
7
)
6
f\left(x\right)=\left(-\frac{2}{5}x-7\right)^{6}
f
(
x
)
=
(
−
5
2
x
−
7
)
6
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
−
2
5
x
−
7
)
6
f\left(x\right)=\left(\red{-\frac{2}{5}}x-7\right)^{\purple{6}}
f
(
x
)
=
(
−
5
2
x
−
7
)
6
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
6
×
(
−
2
5
)
×
(
−
2
5
x
−
7
)
6
−
1
f'\left(x\right)=\purple{6}\times \red{\left(-\frac{2}{5}\right)}\times \left(\red{-\frac{2}{5}}x-7\right)^{\purple{6}-1}
f
′
(
x
)
=
6
×
(
−
5
2
)
×
(
−
5
2
x
−
7
)
6
−
1
f
′
(
x
)
=
−
12
5
(
−
2
5
x
−
7
)
5
f'\left(x\right)=-\frac{12}{5}\left(-\frac{2}{5}x-7\right)^{5}
f
′
(
x
)
=
−
5
12
(
−
5
2
x
−
7
)
5
Question 2
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
5
9
x
+
4
)
15
f\left(x\right)=\left(\frac{5}{9}x+4\right)^{15}
f
(
x
)
=
(
9
5
x
+
4
)
15
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
5
9
x
+
4
)
15
f\left(x\right)=\left(\red{\frac{5}{9}}x+4\right)^{\purple{15}}
f
(
x
)
=
(
9
5
x
+
4
)
15
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
15
×
5
9
×
(
5
9
x
+
4
)
15
−
1
f'\left(x\right)=\purple{15}\times \red{\frac{5}{9}}\times \left(\red{\frac{5}{9}}x+4\right)^{\purple{15}-1}
f
′
(
x
)
=
15
×
9
5
×
(
9
5
x
+
4
)
15
−
1
f
′
(
x
)
=
75
9
(
5
9
x
+
4
)
14
f'\left(x\right)=\frac{75}{9}\left(\frac{5}{9}x+4\right)^{14}
f
′
(
x
)
=
9
75
(
9
5
x
+
4
)
14
Question 3
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
−
11
3
x
+
1
)
13
f\left(x\right)=\left(-\frac{11}{3}x+1\right)^{13}
f
(
x
)
=
(
−
3
11
x
+
1
)
13
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
−
11
3
x
+
1
)
13
f\left(x\right)=\left(\red{-\frac{11}{3}}x+1\right)^{\purple{13}}
f
(
x
)
=
(
−
3
11
x
+
1
)
13
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
13
×
(
−
11
3
)
×
(
−
11
3
x
+
1
)
13
−
1
f'\left(x\right)=\purple{13}\times \red{\left(-\frac{11}{3}\right)}\times \left(\red{-\frac{11}{3}}x+1\right)^{\purple{13}-1}
f
′
(
x
)
=
13
×
(
−
3
11
)
×
(
−
3
11
x
+
1
)
13
−
1
f
′
(
x
)
=
−
143
3
(
−
11
3
x
+
1
)
12
f'\left(x\right)=-\frac{143}{3}\left(-\frac{11}{3}x+1\right)^{12}
f
′
(
x
)
=
−
3
143
(
−
3
11
x
+
1
)
12
Question 4
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
7
13
x
−
5
)
9
f\left(x\right)=\left(\frac{7}{13}x-5\right)^{9}
f
(
x
)
=
(
13
7
x
−
5
)
9
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
n
×
a
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
7
13
x
−
5
)
9
f\left(x\right)=\left(\red{\frac{7}{13}}x-5\right)^{\purple{9}}
f
(
x
)
=
(
13
7
x
−
5
)
9
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
9
×
(
7
13
)
×
(
7
13
x
−
5
)
9
−
1
f'\left(x\right)=\purple{9}\times \red{\left(\frac{7}{13}\right)}\times \left(\red{\frac{7}{13}}x-5\right)^{\purple{9}-1}
f
′
(
x
)
=
9
×
(
13
7
)
×
(
13
7
x
−
5
)
9
−
1
f
′
(
x
)
=
63
13
(
−
7
13
x
−
5
)
8
f'\left(x\right)=\frac{63}{13}\left(-\frac{7}{13}x-5\right)^{8}
f
′
(
x
)
=
13
63
(
−
13
7
x
−
5
)
8