Extremums - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-3,5\right]$$ .
On a :

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$2x-6\ge 0$$
$$2x\ge 6$$
$$x\ge \frac{6}{2}$$
$$x\ge 3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$2x-6$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$3$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[-3;3\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ .
• si $$x\in\left[3;5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe de $$f'$$ ci-dessous :

D'après la question précédente :

• si $$x\in\left[-3;3\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[3;5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation de $$f$$ ci-dessous :

$$f\left(-3\right)=\left(-3\right)^{2} -6\times \left(-3\right)+1$$ ainsi $$f\left(-3\right)=28$$

$$f\left(3\right)=3^{2} -6\times 3+1$$ ainsi $$f\left(3\right)=-8$$

$$f\left(5\right)=5^{2} -6\times 5+1$$ ainsi $$f\left(5\right)=-4$$

D'après le tableau ci-dessus :

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$3$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local}}$$. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum

De plus :

Le maximum de $$f$$ sur $$\left[-3,5\right]$$ est atteint en $$x=-3$$ et a pour valeur $$28$$ .

Le minimum de $$f$$ sur $$\left[-3,5\right]$$ est atteint en $$x=3$$ et a pour valeur $$-8$$ .

La courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses si et seulement si $$f'$$ s'annule.
La solution de l'équation $$f'\left(x\right)=0$$ est alors $$x=3$$ .
Il en résulte donc qu'au point d'abscisse $$3$$, la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ admet une tangente horizontale .