Applications de la dérivation

Extremums - Exercice 1

15 min
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On considère la fonction ff définie sur [3,5]\left[-3,5\right] par : f(x)=x26x+1f\left(x\right)=x^{2} -6x+1 . On note Cf\mathscr{C}_{f} la courbe représentative de la fonction ff .
Question 1

Déterminer l'expression de la dérivée ff' de ff puis étudier le signe de f(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.

Correction
ff est dérivable sur [3,5]\left[-3,5\right] .
On a :
f(x)=2x6f'\left(x\right)=2x-6

Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f(x)0f'\left(x\right)\ge 0.
En effet, en résolvant f(x)0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
2x602x-6\ge 0
2x62x\ge 6
x62x\ge \frac{6}{2}
x3x\ge 3
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 2x62x-6 lorsque xx sera supérieur ou égale à 33.
Il en résulte donc que :
  • si x[3;3]x\in\left[-3;3\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 .
  • si x[3;5]x\in\left[3;5\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 .
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe de ff' ci-dessous :
Question 2

Déterminer les extremums (éventuellement locaux) de ff sur [3,5]\left[-3,5\right] .

Correction
  • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
D'après la question précédente :
  • si x[3;3]x\in\left[-3;3\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
  • si x[3;5]x\in\left[3;5\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation de ff ci-dessous :
  • f(3)=(3)26×(3)+1f\left(-3\right)=\left(-3\right)^{2} -6\times \left(-3\right)+1 ainsi f(3)=28f\left(-3\right)=28
  • f(3)=326×3+1f\left(3\right)=3^{2} -6\times 3+1 ainsi f(3)=8f\left(3\right)=-8
  • f(5)=526×5+1f\left(5\right)=5^{2} -6\times 5+1 ainsi f(5)=4f\left(5\right)=-4
    • Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II et aa un réel de II .
    • Si ff' s'annule en changeant de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa .
    D'après le tableau ci-dessus :
  • ff' s'annule en changeant de signe en 33 donc ff admet un extremum local\text{\red{extremum local}}. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum
  • De plus :
  • Le maximum de ff sur [3,5]\left[-3,5\right] est atteint en x=3x=-3 et a pour valeur 2828 .
  • Le minimum de ff sur [3,5]\left[-3,5\right] est atteint en x=3x=3 et a pour valeur 8-8 .
  • Question 3

    La courbe Cf\mathscr{C}_{f} admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ? Si oui, donner les abscisses des points vérifiant que les tangentes soient parallèles à l'axe des abscisses .

    Correction
    La courbe Cf\mathscr{C}_{f} admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses si et seulement si ff' s'annule.
    La solution de l'équation f(x)=0f'\left(x\right)=0 est alors x=3x=3 .
    Il en résulte donc qu'au point d'abscisse 33, la courbe Cf\mathscr{C}_{f} admet une tangente horizontale .