Applications de la dérivation

Exercices types : Problèmes Optimisation - Exercice 1

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Question 1
Lorsqu'un camion d'un certain type roule à la vitesse moyenne vv, exprimé en km.h1km.h^{-1}, le prix de revient en euros d'un voyage de 15001500 kmkm à la vitesse moyenne vv est : P(v)=57000v+10vP\left(v\right)=\frac{57000}{v} +10v. La fonction PP est définie sur l'intervalle [1;+[\left[1;+\infty\right[.

Quelle doit être la vitesse moyenne vv pour minimiser le prix de revient du voyage?

Correction
Pour répondre à cette question, nous allons étudier les variations de la fonction PP et nous présenterons le tableau de variation sur l'intervalle [1;+[\left[1;+\infty\right[.
  • (1x)=1x2\left(\frac{1}{x} \right)^{'} =\frac{-1}{x^{2} }
PP est dérivable sur [1;+[\left[1;+\infty\right[
Il vient alors que :
P(v)=57000v2+10P'\left(v\right)=-\frac{57000}{v^{2}} +10 . Nous allons tout mettre au même dénominateur. Il vient alors que :
P(v)=57000v2+10v2v2P'\left(v\right)=-\frac{57000}{v^{2} } +\frac{10v^{2} }{v^{2} }
P(v)=10v257000v2P'\left(v\right)=\frac{10v^{2} -57000}{v^{2} }
P(v)=10(v25700)v2P'\left(v\right)=\frac{10\left(v^{2} -5700\right)}{v^{2} }

Comme v[1;+[v\in\left[1;+\infty\right[, on vérifie aisément que v2>0v^{2}>0. Il en résulte donc que le signe de PP' dépend alors de v25700v^{2} -5700.
Pour l'étude du signe de v25700v^{2} -5700, nous allons utiliser le discriminant.
Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac . Ainsi : Δ=22800\Delta =22800
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction PP' admet deux racines réelles distinctes notées v1v_{1} et v2v_{2} telles que :
v1=bΔ2av_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi v1=1057v_{1} =-10\sqrt{57}
v2=b+Δ2av_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi v2=1057v_{2} =10\sqrt{57}
Dans notre situation, a=1>0a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que PP' est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Nous allons maintenant pouvoir dresser le tableau de variation de PP.
D'après le tableau de variation, la vitesse moyenne vv pour minimiser le prix de revient du voyage est alors une vitesse de v=1057v=10\sqrt{57} km.h1km.h^{-1}. Autrement dit, une vitesse de v=75,5v=75,5 km.h1km.h^{-1}. Il s'agit d'une valeur arrondie à 10210^{-2} près.