Exercices types : Problèmes Optimisation

Pour répondre à cette question, nous allons étudier les variations de la fonction $P$ et nous présenterons le tableau de variation sur l'intervalle $\left[1;+\infty\right[$.
$P$ est dérivable sur $\left[1;+\infty\right[$
Il vient alors que :
$P'\left(v\right)=-\frac{57000}{v^{2}} +10$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur. Il vient alors que :
$P'\left(v\right)=-\frac{57000}{v^{2} } +\frac{10v^{2} }{v^{2} }$
$P'\left(v\right)=\frac{10v^{2} -57000}{v^{2} }$

Comme $v\in\left[1;+\infty\right[$, on vérifie aisément que $v^{2}>0$. Il en résulte donc que le signe de $P'$ dépend alors de $v^{2} -5700$.
Pour l'étude du signe de $v^{2} -5700$, nous allons utiliser le discriminant.
$\Delta =b^{2} -4ac$ . Ainsi : $\Delta =22800$
Comme $\Delta >0$ alors la fonction $P'$ admet deux racines réelles distinctes notées $v_{1}$ et $v_{2}$ telles que :
$v_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $v_{1} =-10\sqrt{57}$
$v_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $v_{2} =10\sqrt{57}$
Dans notre situation, $a=1>0$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $P'$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
Nous allons maintenant pouvoir dresser le tableau de variation de $P$.
D'après le tableau de variation, la vitesse moyenne $v$ pour minimiser le prix de revient du voyage est alors une vitesse de $v=10\sqrt{57}$ $km.h^{-1}$. Autrement dit, une vitesse de $v=75,5$ $km.h^{-1}$. Il s'agit d'une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.

Il nous faut calculer $f\left(10\right)$.
$f\left(10\right)=10^{3}-90\times10^{2}+2625\times10-300$

L'entreprise réalisera un bénéfice de $17$ $950$ euros pour une vente de $10$ licences.

Soit $f\left(x\right)=x^{3}-90x^{2}+2625x-300$ ; $f$ est dérivable sur $\left[0;35\right]$.
Il vient :
$f'\left(x\right)=3\times x^{2}-90\times 2x+2625$

Nous savons que pour tout réel $x\in\left[0;35\right]$ , on a : $f'\left(x\right)=3 x^{2}-180x+2625$ .
Ici la dérivée est une fonction du $2$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $3 x^{2}-180x+2625$, on va utiliser le discriminant.
Alors $a=3$; $b=-180$ et $c=2625$.
Or $\Delta =b^{2} -4ac$ donc $\Delta =900$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ce qui donne $x_{1} =25$.
• $x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ce qui donne $x_{2} =35$.

Comme $a=3>0$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $f$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :

$f\left(0\right)=0^{3}-90\times0^{2}+2625\times0-300=-300$

$f\left(25\right)=25^{3}-90\times25^{2}+2625\times25-300=24700$

$f\left(35\right)=35^{3}-90\times35^{2}+2625\times35-300=24200$

D'après le tableau de variation précédent, on indique en rouge le maximum et sa valeur.
Ainsi l’entreprise doit fabriquer et vendre chaque semaine $25$ licences pour avoir un bénéfice maximal dont le montant sera de $24$ $700$ euros.