Exercices types : Problèmes Optimisation - Exercice 1

Pour répondre à cette question, nous allons étudier les variations de la fonction $$P$$ et nous présenterons le tableau de variation sur l'intervalle $$\left[1;+\infty\right[$$.
$$P$$ est dérivable sur $$\left[1;+\infty\right[$$
Il vient alors que :
$$P'\left(v\right)=-\frac{57000}{v^{2}} +10$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur. Il vient alors que :
$$P'\left(v\right)=-\frac{57000}{v^{2} } +\frac{10v^{2} }{v^{2} }$$
$$P'\left(v\right)=\frac{10v^{2} -57000}{v^{2} }$$

Comme $$v\in\left[1;+\infty\right[$$, on vérifie aisément que $$v^{2}>0$$. Il en résulte donc que le signe de $$P'$$ dépend alors de $$v^{2} -5700$$.
Pour l'étude du signe de $$v^{2} -5700$$, nous allons utiliser le discriminant.
$$\Delta =b^{2} -4ac$$ . Ainsi : $$\Delta =22800$$
Comme $$\Delta >0$$ alors $$v^{2} -5700$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$v_{1}$$ et $$v_{2}$$ telles que :
$$v_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$v_{1} =-10\sqrt{57}$$
$$v_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$v_{2} =10\sqrt{57}$$
Dans notre situation, $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$P'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Nous allons maintenant pouvoir dresser le tableau de variation de $$P$$.
D'après le tableau de variation, la vitesse moyenne $$v$$ pour minimiser le prix de revient du voyage est alors une vitesse de $$v=10\sqrt{57}$$ $$km.h^{-1}$$. Autrement dit, une vitesse de $$v\approx 75,50$$ $$km.h^{-1}$$. Il s'agit d'une valeur arrondie à $$10^{-2}$$ près.
Le prix de revient est alors minimal et vaut $$P\left(10\sqrt{57}\right)=\frac{57000}{10\sqrt{57}}+10\times10\sqrt{57}=200\sqrt{57}\approx 1510$$ euros.