P est dérivable sur [1;+∞[ Il vient alors que : P′(v)=−v257000+10 . Nous allons tout mettre au même dénominateur. Il vient alors que : P′(v)=−v257000+v210v2 P′(v)=v210v2−57000
P′(v)=v210(v2−5700)
Comme v∈[1;+∞[, on vérifie aisément que v2>0. Il en résulte donc que le signe de P′ dépend alors de v2−5700. Pour l'étude du signe de v2−5700, nous allons utiliser le discriminant. Δ=b2−4ac . Ainsi : Δ=22800 Comme Δ>0 alors la fonction P′ admet deux racines réelles distinctes notées v1 et v2 telles que : v1=2a−b−Δ ainsi v1=−1057 v2=2a−b+Δ ainsi v2=1057 Dans notre situation, a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que P′ est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Nous allons maintenant pouvoir dresser le tableau de variation de P.
D'après le tableau de variation, la vitesse moyenne v pour minimiser le prix de revient du voyage est alors une vitesse de v=1057km.h−1. Autrement dit, une vitesse de v=75,5km.h−1. Il s'agit d'une valeur arrondie à 10−2 près.
Exercice 2
Une entreprise vend des logiciels (licences spécialisées) mathématiques pour les lycées. Le bénéfice réalisé par cette vente de logiciels, en une semaine, est modélisée par la fonction f(x)=x3−90x2+2625x−300. Le bénéfice est exprimé en euros. L'entreprise ne peut pas fournir plus de 35 logiciels par semaine, on aura ainsi : 0≤x≤35
1
Calculer le bénéfice pour 10 licences.
Correction
Il nous faut calculer f(10). f(10)=103−90×102+2625×10−300
f(10)=17950
L'entreprise réalisera un bénéfice de 17950 euros pour une vente de 10 licences.
2
Calculer la dérivée de f.
Correction
Soit f(x)=x3−90x2+2625x−300 ; f est dérivable sur [0;35]. Il vient : f′(x)=3×x2−90×2x+2625
f′(x)=3x2−180x+2625
3
Etudier les variations de f.
Correction
Nous savons que pour tout réel x∈[0;35] , on a : f′(x)=3x2−180x+2625 . Ici la dérivée est une fonction du 2ème degré. Pour l'étude du signe de 3x2−180x+2625, on va utiliser le discriminant. Alors a=3; b=−180 et c=2625. Or Δ=b2−4ac donc Δ=900. Il existe donc deux racines réelles distinctes.
x1=2a−b−Δ ce qui donne x1=25.
x2=2a−b+Δ ce qui donne x2=35.
Comme a=3>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :
f(0)=03−90×02+2625×0−300=−300
f(25)=253−90×252+2625×25−300=24700
f(35)=353−90×352+2625×35−300=24200
4
En déduire combien de licences l’entreprise doit fabriquer et vendre par semaine pour avoir un bénéfice maximal.
Correction
D'après le tableau de variation précédent, on indique en rouge le maximum et sa valeur.
Ainsi l’entreprise doit fabriquer et vendre chaque semaine 25 licences pour avoir un bénéfice maximal dont le montant sera de 24700 euros.
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