Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU - Exercice 1

Puisque $$x > −1$$, alors $$x +1 > 0$$, $$f$$ est donc une fonction quotient dérivable sur $$\left]−1 ;+\infty \right[$$ .
Soit : $$f\left(x\right) = \frac{x^{2}+1}{x+1}$$
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}+1$$ et $$v\left(x\right)=x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right) = \frac{2x\times\left(x+1\right)-1\times\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)^2}$$
$$f'\left(x\right) =\frac{2x^2+2x-x^2-1}{\left(x+1\right)^2}$$
Finalement :

Pour tout réel $$x \in \left]−1 ;+\infty \right[$$ nous savons que $$\left(x+1\right)^2>0$$ . Le signe de $$f'\left(x\right)$$ dépend alors du trinôme $$x^2+2x-1$$ .
$$\Delta = 2^2-4\times1\times\left(-1\right)=8$$
Comme $$\Delta >0$$ alors $$x^2+2x-1$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-2-\sqrt{8} }{2}$$ d'où $$x_{1} =-1-\sqrt{2}$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-2+\sqrt{8} }{2}$$ d'où $$x_{2} =-1+\sqrt{2}$$
$$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines. Il en résulte donc que :

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
Comme $$f\left(x\right) = \frac{x^2+1}{x+1}$$ alors $$f\left(0\right) = 1$$
Comme $$f'\left(x\right) =\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2}$$ alors $$f'\left(0\right) = -1$$
Ainsi :
$$y=\left(-1\right)\times\left(x-0\right)+1$$
Ainsi :
L'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=-x+1$$.

Soit $$x\in\left]−1 ;+\infty \right[$$
On étudie la fonction différence entre la fonction $$f$$ et la droite d'équation $$y=x$$.
On note $$d$$ la fonction telle que $$d\left(x\right)=f\left(x\right)-y$$
$$d\left(x\right)=f\left(x\right)-y$$ équivaut successivement à :
$$d\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+1}-x$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{x\left(x+1\right)}{x+1}$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^2+1-x(x+1)}{x+1}$$
$$d\left(x\right) = \frac{x^2+1-x^2-x}{x+1}$$
$$d\left(x\right) = \frac{-x+1}{x+1}$$
$$x\in\left]−1 ;+\infty \right[$$ donc $$x+1>0$$ .
Le signe de $$f'$$ dépend alors du numérateur $$-x+1$$ .
$$-x+1\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -1\Leftrightarrow x\le \frac{-1}{-1} \Leftrightarrow x\le 1$$ .
On dresse alors le tableau de signe de la fonction $$d$$ .
$$\red{\text{Interprétation graphique :}}$$

Si $$x\in \left]−1 ;1 \right]$$ alors $$d\left(x\right)\geq 0$$ soit $$f\left(x\right)-y\geq 0$$ ainsi $$f\left(x\right)\geq y$$.

Il en résulte que la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ est au-dessus de la droite d’équation $$y = x$$ .

Si $$x\in \left[1 ;+\infty \right[$$ alors $$d\left(x\right)\le 0$$ soit $$f\left(x\right)-y\le 0$$ ainsi $$f\left(x\right)\le y$$.

Il en résulte que la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ est en dessous de la droite d’équation $$y = x$$