Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
$$f(x)=x^3+1$$ alors :
$$f'\left(x\right)=3\times x^{2}$$
$$f'\left(x\right)=3x^{2}$$
2^ème étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=1^{3}+1$$
$$f\left(1\right)=2$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=3\times1^{2}$$
$$f'\left(1\right)=3$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=3\times \left(x-1\right)+2$$
$$y=3x-3+2$$
$$y=3x-1$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=3x-1.$$

Nous savons donc, de manière générale, que l'équation de la tangente est de la forme $$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ . Si nous développons cette expression, on obtiendrait :
$$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ . Le terme en bleu correspond donc au coefficient directeur de cette droite .
Or nous voulons que $$y={\color{blue}{f'\left(a\right)}}\times x -f'\left(a\right)\times a+f\left(a\right)$$ soit parallèle à la droite d'équation $$y={\color{blue}{-2}}x+6$$.
Or deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Il en résulte donc que :
$$f'\left(a\right)=-2$$ . Comme $$a$$ est une abscisse que l'on recherche, nous allons prendre $$x$$ à la place de $$a$$ comme inconnue pour faciliter nos calculs. (enfin c'est pour revenir à des équations classiques avec des $$x$$).
Nous voulons donc résoudre l'équation :
$$f'\left(x\right)=-2$$ . Comme $$f'\left(x\right)=3x^{2}$$. Alors :
$$3x^{2}=-2$$ équivaut successivement à :
$$x^{2}=-\frac{2}{3}$$
Or un carré est toujours positif ou nul.
$$\color{blue}On\;peut\;donc\;conclure\;qu'il\;n'existe\;pas\;de\;tangente\;à\;C_f\;parallèle\;à\;la\;droite\;d'équation\;y=-2x+6.$$