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Applications de la dérivation

Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

20 min
35
La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x25x+2f\left(x\right)=x^2-5x+2 .
Question 1

Déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction ff .

Correction
ff est une fonction polynôme du 22ème degré.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur R\mathbb{R} .
Il en résulte donc, que la fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
Question 2

Calculer la dérivée de ff sur son domaine de dérivabilité.

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
f(x)=2×x5f'\left(x\right)=2\times x-5
f(x)=2x5f'\left(x\right)=2x-5
Question 3

Déterminer une équation de la tangente à la courbe CC au point AA d'abscisse 11 .

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
Avec f(x)=2x5f'(x)=2x-5 et f(x)=x25x+2f(x)=x^2-5x+2.
1ère étape : calculer f(1)f\left(1\right)
f(1)=125×1+2f\left(1\right)=1^{2} -5\times 1+2
f(1)=2f\left(1\right)=-2
2ème étape : calculer f(1)f'\left(1\right)
f(1)=2×15f'\left(1\right)=2\times 1-5
f(1)=3f'\left(1\right)=-3
3ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
y=3×(x1)2y=-3\times \left(x-1\right)-2
y=3x+32y=-3x+3-2
y=3x+1y=-3x+1
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors y=3x+1y=-3x+1.
Question 4

Etudier le signe de f(x)(3x+1)f\left(x\right)-(-3x+1)

Correction
Etudier le signe de f(x)(3x+1)f\left(x\right)-(-3x+1) équivaut successivement à :
f(x)(3x+1)=x25x+2(3x+1)f\left(x\right)-(-3x+1)=x^2-5x+2-(-3x+1)
f(x)(3x+1)=x25x+2+3x1f\left(x\right)-(-3x+1)=x^2-5x+2+3x-1
f(x)(3x+1)=x22x+1f\left(x\right)-(-3x+1)=x^2-2x+1

x22x+1x^2-2x+1 est un polynôme du second degrzé de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c (Avec  a0)(Avec\;a\ne 0)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=2b=-2
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(2)24×1×1\Delta =\left(-2\right)^{2} -4\times 1\times 1
Δ=44=0\Delta =4-4=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=22×1x{}_{0} =\frac{2}{2\times 1} d'où x0=1x{}_{0} =1
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 et que nous connaissons la racine x0x{}_{0} , le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de aa. Ici a=1a=1
On  peut  donc  conclure  ici  que  f(x)(3x+1)>0\color{blue}On\;peut\;donc\;conclure\;ici\;que\;f(x)-(-3x+1)>0.
Question 5

En déduire la position relative de la courbe de CfC_f par rapport à la droite TT .

Correction
La position relative entre deux courbes étudie les intervalles sur lesquelles une des courbes est supérieure à l'autre.
Pour étudier la position relative entre CfC_{f} et TT, il faut étudier le signe de f(x)yf\left(x\right)-y.
  • Si f(x)>yf\left(x\right)>y sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} est au-dessus de TT sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f(x)<yf\left(x\right)<y sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} est en dessous de TT sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f(x)=yf\left(x\right)=y en un point α\alpha de l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} et TT ont un point en commun en α\alpha .
De la question précédente, on en a déduit que :
                              \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)(3x+1)>0f(x)-(-3x+1)>0.

Interpreˊtation geˊomeˊtrique :\red{\text{Interprétation géométrique :}}
  • Si xRx\in \mathbb{R} alors f(x)y0f\left(x\right)-y\geq 0 soit f(x)yf\left(x\right)\geq y.
  • Il en résulte que la courbe CfC_{f} est au-dessus de la tangente TT.