Applications de la dérivation

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

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Soit ff une fonction définie et continue sur [5;0]\left[-5;0\right] par f(x)=2x3+2x28x+10x24x+5f\left(x\right)=\frac{2x^{3} +2x^{2}-8x+10}{x^{2} -4x+5}
Question 1

Montrer que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [5;0]\left[-5;0\right] , on a : f(x)=2x2(x28x+15)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{2}\left(x^{2} -8x+15\right)}{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }

Correction
ff est dérivable sur [5;0]\left[-5;0\right] car ici le dénominateur ne s'annule que pour les valeurs 11 et 44. ( c'est facile à montrer on calcule le delta du dénominateur).
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2x3+2x28x+10u\left(x\right)=2x^{3}+2x^{2}-8x+10 et v(x)=x24x+5v\left(x\right)=x^{2}-4x+5
Ainsi : u(x)=6x2+4x8u'\left(x\right)=6x^{2}+4x-8 et v(x)=2x4v'\left(x\right)=2x-4.
Il vient alors que :
f(x)=(6x2+4x8)×(x24x+5)(2x3+2x28x+10)×(2x4)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+4x-8\right)\times \left(x^{2}-4x+5\right)-\left(2x^{3}+2x^{2}-8x+10\right)\times \left(2x-4\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }
f(x)=(6x424x3+30x2+4x316x2+20x8x2+32x40)(4x48x3+4x38x216x2+32x+20x40)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4}-24x^{3}+30x^{2}+4x^{3}-16x^{2}+20x-8x^{2}+32x-40\right)-\left(4x^{4} -8x^{3}+4x^{3}-8x^{2}-16x^{2}+32x+20x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }
f(x)=(6x420x3+6x2+52x40)(4x44x324x2+52x40)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40\right)-\left(4x^{4} -4x^{3}-24x^{2}+52x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }
f(x)=6x420x3+6x2+52x404x4+4x3+24x252x+40(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40-4x^{4}+4x^{3}+24x^{2}-52x+40}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }
f(x)=2x416x3+30x2(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{4}-16x^{3}+30x^{2}}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} } . Nous allons maintenant décomposer par 2x22x^{2} les termes du numérateur en faisant apparaitre un facteur commun.
f(x)=2x2×x22x2×8x+2x2×15(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{2} \times x^{2} -2x^{2} \times 8x+2x^{2}\times15 }{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }. Maintenant nous allons factoriser par 2x22x^{2} .
f(x)=2x2(x28x+15)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{2}\left(x^{2} -8x+15\right)}{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }

Question 2

Etudier le signe de ff' et en déduire le tableau de variation de ff.

Correction
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [5;0]\left[-5;0\right] , on peut affirmer que :
2x202x^{2} \ge 0 car un carré est positif ou nul.
(x24x+5)20\left(x^{2}-4x+5\right)^{2}\ge 0 car un carré est positif ou nul.
Il en résulte donc que le signe de ff' ne dépend que du signe de x28x+15x^{2} -8x+15.
Pour l'étude du signe de x28x+15x^{2} -8x+15, on va utiliser le discriminant.
Alors a=1a=1; b=8b=-8 et c=15c=15.
Or Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac donc Δ=4\Delta =4.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.
  • x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x1=3x_{1} =3.
  • x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x2=5x_{2} =5.
Comme a=1>0a=1>0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines. Pour nous aider à visualiser, nous allons dresser le tableau de signe de x28x+15x^{2} -8x+15 sur R\mathbb{R} puis ensuite nous regarderons plus précisément le signe de x28x+15x^{2} -8x+15 sur [5;0]\left[-5;0\right] .
Cela signifie donc que sur l'intervalle [5;0]\left[-5;0\right], on a : x28x+15>0x^{2} -8x+15>0 comme cela se vérifie à l'aide du tableau de signe ci-dessus.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 3

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 00.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=0a=0, ce qui donne, y=f(0)(x0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right).
1ère étape : calculer f(0)f\left(0\right)
f(0)=2×03+2×028×0+10024×0+5f\left(0\right)=\frac{2\times 0^{3} +2\times 0^{2}-8\times 0+10}{0^{2} -4\times 0+5}
f(0)=2f\left(0\right)=2
2ème étape : calculer f(0)f'\left(0\right)
f(0)=(2×02)(028×0+15)(024×0+5)2f'\left(0\right)=\frac{\left(2\times 0^{2}\right)\left(0^{2} -8\times 0+15\right)}{\left(0^{2} -4\times 0+5\right)^{2} }
f(0)=0f'\left(0\right)=0
3ème étape : on remplace les valeurs de f(0)f\left(0\right) et de f(0)f'\left(0\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(0)(x0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
y=0×(x0)+2y=0\times \left(x-0\right)+2
y=2y=2
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 00 est alors y=2y=2.