Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-5;0\right]$$ car ici le dénominateur ne s'annule que pour les valeurs $$1$$ et $$4$$. ( c'est facile à montrer on calcule le delta du dénominateur).
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{3}+2x^{2}-8x+10$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}-4x+5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x^{2}+4x-8$$ et $$v'\left(x\right)=2x-4$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+4x-8\right)\times \left(x^{2}-4x+5\right)-\left(2x^{3}+2x^{2}-8x+10\right)\times \left(2x-4\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4}-24x^{3}+30x^{2}+4x^{3}-16x^{2}+20x-8x^{2}+32x-40\right)-\left(4x^{4} -8x^{3}+4x^{3}-8x^{2}-16x^{2}+32x+20x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40\right)-\left(4x^{4} -4x^{3}-24x^{2}+52x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40-4x^{4}+4x^{3}+24x^{2}-52x+40}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{4}-16x^{3}+30x^{2}}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$ . Nous allons maintenant décomposer par $$2x^{2}$$ les termes du numérateur en faisant apparaitre un facteur commun.
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{2} \times x^{2} -2x^{2} \times 8x+2x^{2}\times15 }{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }$$. Maintenant nous allons factoriser par $$2x^{2}$$ .

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-5;0\right]$$ , on peut affirmer que :
$$2x^{2} \ge 0$$ car un carré est positif ou nul.
$$\left(x^{2}-4x+5\right)^{2}\ge 0$$ car un carré est positif ou nul.
Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ ne dépend que du signe de $$x^{2} -8x+15$$.
Pour l'étude du signe de $$x^{2} -8x+15$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=1$$; $$b=-8$$ et $$c=15$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =4$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =3$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =5$$.

Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines. Pour nous aider à visualiser, nous allons dresser le tableau de signe de $$x^{2} -8x+15$$ sur $$\mathbb{R}$$ puis ensuite nous regarderons plus précisément le signe de $$x^{2} -8x+15$$ sur $$\left[-5;0\right]$$ .
Cela signifie donc que sur l'intervalle $$\left[-5;0\right]$$, on a : $$x^{2} -8x+15>0$$ comme cela se vérifie à l'aide du tableau de signe ci-dessus.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=\frac{2\times 0^{3} +2\times 0^{2}-8\times 0+10}{0^{2} -4\times 0+5}$$
$$f\left(0\right)=2$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=\frac{\left(2\times 0^{2}\right)\left(0^{2} -8\times 0+15\right)}{\left(0^{2} -4\times 0+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(0\right)=0$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=0\times \left(x-0\right)+2$$
$$y=2$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=2$$.