Applications de la dérivation

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

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Adam a tracé à l'aide de sa calculatrice, la courbe représentative de la fonction ff définie sur l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right] par : f(x)=x4+0,02x2+2f\left(x\right)=-x^{4}+0,02x^{2}+2 . Il conjecture que f(0)=2f\left(0\right)=2 est un maximum local de la fonction ff.
Question 1

Justifier que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right], on a : f(x)=4x(0,1x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right) .

Correction
ff est dérivable sur [1;1]\left[-1;1\right]
Ainsi : f(x)=4x3+0,04xf'\left(x\right)=-4x^{3}+0,04x
Nous allons développer l'expression 4x(0,1x)(0,1+x)4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right) et nous allons vérifier si elle est bien égale à 4x3+0,04x-4x^{3}+0,04x. Il vient alors que :
4x(0,1x)(0,1+x)=4x(0,12x2)4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\left(0,1^{2} -x^{2} \right)
4x(0,1x)(0,1+x)=4x(0,01x2)4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\left(0,01-x^{2} \right)
4x(0,1x)(0,1+x)=4x×0,014x×x24x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\times 0,01-4x\times x^{2}
4x(0,1x)(0,1+x)=4x3+0,04x4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=-4x^{3}+0,04x
Finalement :
f(x)=4x(0,1x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)
Question 2

Etudier le signe de ff' et dresser le tableau de variation de ff.

Correction
D'après la question précédente, nous savons que f(x)=4x(0,1x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right). Nous allons étudier le signe de ff' puis dresser les variations de ff.
Pour tout réel x[1;1]x\in\left[-1;1\right], on a :
  • 4x0x04x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0
  • 0,1x0x0,1x0,11x0,10,1-x\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -0,1\Leftrightarrow x\le \frac{-0,1}{-1} \Leftrightarrow x\le 0,1
  • 0,1+x0x0,10,1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge -0,1
  • Question 3

    La conjecture d'Adam est-elle vraie?

    Correction
    D'après le tableau de variation, la conjecture d'Adam n'est pas validée. En effet, f(0)=2f\left(0\right)=2 est un minimum local et non un maximum local de la fonction ff.
    Question 4

    Compléter le travail d’Adam en donnant tous les extrema locaux de la fonction ff.

    Correction
    Définition du cours :
  • ff possède un extremum local en x0x_{0} lorsque f(x0)=0f'\left(x_{0}\right)=0 et change de signe en x0x_{0} ( c'est à dire que la fonction ff change de variation en x0x_{0} ).
  • Ainsi d'après le tableau de variation ci-dessous :
    La fonction ff possède :
  • deux maximums locaux : f(0,1)=2,001f\left(-0,1\right)=2,001 et f(0,1)=2,001f\left(0,1\right)=2,001
  • un minimum local : f(0)=2f\left(0\right)=2