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Applications de la dérivation
Exercices types :
2
2
2
ème
partie - Exercice 2
20 min
40
Adam a tracé à l'aide de sa calculatrice, la courbe représentative de la fonction
f
f
f
définie sur l'intervalle
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
par :
f
(
x
)
=
−
x
4
+
0
,
02
x
2
+
2
f\left(x\right)=-x^{4}+0,02x^{2}+2
f
(
x
)
=
−
x
4
+
0
,
02
x
2
+
2
. Il conjecture que
f
(
0
)
=
2
f\left(0\right)=2
f
(
0
)
=
2
est un maximum local de la fonction
f
f
f
.
Question 1
Justifier que pour tout réel
x
x
x
appartenant à l'intervalle
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
, on a :
f
′
(
x
)
=
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)
f
′
(
x
)
=
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
.
Correction
f
f
f
est dérivable sur
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
−
4
x
3
+
0
,
04
x
f'\left(x\right)=-4x^{3}+0,04x
f
′
(
x
)
=
−
4
x
3
+
0
,
04
x
Nous allons développer l'expression
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
et nous allons vérifier si elle est bien égale à
−
4
x
3
+
0
,
04
x
-4x^{3}+0,04x
−
4
x
3
+
0
,
04
x
. Il vient alors que :
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
4
x
(
0
,
1
2
−
x
2
)
4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\left(0,1^{2} -x^{2} \right)
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
4
x
(
0
,
1
2
−
x
2
)
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
4
x
(
0
,
01
−
x
2
)
4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\left(0,01-x^{2} \right)
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
4
x
(
0
,
01
−
x
2
)
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
4
x
×
0
,
01
−
4
x
×
x
2
4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\times 0,01-4x\times x^{2}
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
4
x
×
0
,
01
−
4
x
×
x
2
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
−
4
x
3
+
0
,
04
x
4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=-4x^{3}+0,04x
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
=
−
4
x
3
+
0
,
04
x
Finalement :
f
′
(
x
)
=
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)
f
′
(
x
)
=
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
Question 2
Etudier le signe de
f
′
f'
f
′
et dresser le tableau de variation de
f
f
f
.
Correction
D'après la question précédente, nous savons que
f
′
(
x
)
=
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)
f
′
(
x
)
=
4
x
(
0
,
1
−
x
)
(
0
,
1
+
x
)
. Nous allons étudier le signe de
f
′
f'
f
′
puis dresser les variations de
f
f
f
.
Pour tout réel
x
∈
[
−
1
;
1
]
x\in\left[-1;1\right]
x
∈
[
−
1
;
1
]
, on a :
4
x
≥
0
⇔
x
≥
0
4x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0
4
x
≥
0
⇔
x
≥
0
0
,
1
−
x
≥
0
⇔
−
x
≥
−
0
,
1
⇔
x
≤
−
0
,
1
−
1
⇔
x
≤
0
,
1
0,1-x\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -0,1\Leftrightarrow x\le \frac{-0,1}{-1} \Leftrightarrow x\le 0,1
0
,
1
−
x
≥
0
⇔
−
x
≥
−
0
,
1
⇔
x
≤
−
1
−
0
,
1
⇔
x
≤
0
,
1
0
,
1
+
x
≥
0
⇔
x
≥
−
0
,
1
0,1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge -0,1
0
,
1
+
x
≥
0
⇔
x
≥
−
0
,
1
Question 3
La conjecture d'Adam est-elle vraie?
Correction
D'après le tableau de variation, la conjecture d'Adam n'est pas validée. En effet,
f
(
0
)
=
2
f\left(0\right)=2
f
(
0
)
=
2
est un minimum local et non un maximum local de la fonction
f
f
f
.
Question 4
Compléter le travail d’Adam en donnant tous les extrema locaux de la fonction
f
f
f
.
Correction
Définition du cours :
f
f
f
possède un extremum local en
x
0
x_{0}
x
0
lorsque
f
′
(
x
0
)
=
0
f'\left(x_{0}\right)=0
f
′
(
x
0
)
=
0
et change de signe en
x
0
x_{0}
x
0
( c'est à dire que la fonction
f
f
f
change de variation en
x
0
x_{0}
x
0
).
Ainsi d'après le tableau de variation ci-dessous :
La fonction
f
f
f
possède :
deux maximums locaux :
f
(
−
0
,
1
)
=
2
,
001
f\left(-0,1\right)=2,001
f
(
−
0
,
1
)
=
2
,
001
et
f
(
0
,
1
)
=
2
,
001
f\left(0,1\right)=2,001
f
(
0
,
1
)
=
2
,
001
un minimum local :
f
(
0
)
=
2
f\left(0\right)=2
f
(
0
)
=
2