Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2} -x+4$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}+3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x-1$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(2x-1\right)\times \left(x^{2}+3\right)-\left(x^{2} -x+4\right)\times \left(2x\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(2x^{3} +6x-x^{2}-3\right)-\left(2x^{3} -2x^{2}+8x\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{3} +6x-x^{2}-3-2x^{3} +2x^{2}-8x}{\left(x^{2}+3\right)^{2} }$$

Soit : $$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} -2x-3}{\left(x^{2}+3\right)^{2} }$$
Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;+\infty \right[$$, le dénominateur $$\left(x^{2}+3\right)^{2}$$ est strictement positif.
Donc, le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$x^{2} -2x-3$$.
Or $$x^{2} -2x-3$$ est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 16$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = -1$$ et $$x_{2} = 3$$. Il est important d'indiquer que $$a=1>0$$ donc la parabole est tournée vers le haut. Cela explique donc pourquoi nous avons le signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et le signe de $$-a$$ à l'intérieur des racines.
On en déduit le tableau de signe de $$f'$$ ainsi que le tableau de variation de $$f$$. On indiquera les valeurs des extrema.
De plus:

$$f\left(-1\right)=\frac{3}{2}$$

$$f(3) =\frac{5}{6}$$

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f(1) =1$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=\frac{1^{2} -2\times 1-3}{\left(1^{2}+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(1\right)=-\frac{1}{4}$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=-\frac{1}{4}\times \left(x-1\right)+1$$
$$y=-\frac{1}{4} x+\frac{1}{4}+1$$
$$y=-\frac{1}{4} x+\frac{5}{4}$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-\frac{1}{4} x+\frac{5}{4}$$.