f est dérivable sur R. On reconnaît la forme (vu)′=v2u′v−uv′ avec u(x)=x2−x+4 et v(x)=x2+3 Ainsi : u′(x)=2x−1 et v′(x)=2x. Il vient alors que : f′(x)=(x2+3)2(2x−1)×(x2+3)−(x2−x+4)×(2x) f′(x)=(x2+3)2(2x3+6x−x2−3)−(2x3−2x2+8x) f′(x)=(x2+3)22x3+6x−x2−3−2x3+2x2−8x
f′(x)=(x2+3)2x2−2x−3
2
Etudier les variations de f.
Correction
Soit : f′(x)=(x2+3)2x2−2x−3 Pour tout réel x∈]−∞;+∞[, le dénominateur (x2+3)2 est strictement positif. Donc, le signe de f′ dépend du numérateur x2−2x−3. Or x2−2x−3 est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines. Ainsi : Δ=16 , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : x1=−1 et x2=3. Il est important d'indiquer que a=1>0 donc la parabole est tournée vers le haut. Cela explique donc pourquoi nous avons le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de −a à l'intérieur des racines. On en déduit le tableau de signe de f′ ainsi que le tableau de variation de f. On indiquera les valeurs des extrema.
De plus:
f(−1)=23
f(3)=65
3
Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1.
Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a).
Ici a=1, ce qui donne, y=f′(1)(x−1)+f(1). 1ère étape : calculer f(1) f(1)=1 2ème étape : calculer f′(1) f′(1)=(12+3)212−2×1−3 f′(1)=−41 3ème étape : on remplace les valeurs de f(1) et de f′(1) dans la formule de l'équation de tangente. On sait que : y=f′(1)(x−1)+f(1) y=−41×(x−1)+1 y=−41x+41+1 y=−41x+45 Ainsi l'équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est alors y=−41x+45.
Exercice 2
Adam a tracé à l'aide de sa calculatrice, la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [−1;1] par : f(x)=−x4+0,02x2+2 . Il conjecture que f(0)=2 est un maximum local de la fonction f.
1
Justifier que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [−1;1], on a : f′(x)=4x(0,1−x)(0,1+x) .
Correction
f est dérivable sur [−1;1] Ainsi : f′(x)=−4x3+0,04x Nous allons développer l'expression 4x(0,1−x)(0,1+x) et nous allons vérifier si elle est bien égale à −4x3+0,04x. Il vient alors que : 4x(0,1−x)(0,1+x)=4x(0,12−x2) 4x(0,1−x)(0,1+x)=4x(0,01−x2) 4x(0,1−x)(0,1+x)=4x×0,01−4x×x2 4x(0,1−x)(0,1+x)=−4x3+0,04x Finalement :
f′(x)=4x(0,1−x)(0,1+x)
2
Etudier le signe de f′ et dresser le tableau de variation de f.
Correction
D'après la question précédente, nous savons que f′(x)=4x(0,1−x)(0,1+x). Nous allons étudier le signe de f′ puis dresser les variations de f. Pour tout réel x∈[−1;1], on a :
4x≥0⇔x≥0
0,1−x≥0⇔−x≥−0,1⇔x≤−1−0,1⇔x≤0,1
0,1+x≥0⇔x≥−0,1
3
La conjecture d'Adam est-elle vraie?
Correction
D'après le tableau de variation, la conjecture d'Adam n'est pas validée. En effet, f(0)=2 est un minimum local et non un maximum local de la fonction f.
4
Compléter le travail d’Adam en donnant tous les extrema locaux de la fonction f.
Correction
Définition du cours :
f possède un extremum local en x0 lorsque f′(x0)=0 et change de signe en x0 ( c'est à dire que la fonction f change de variation en x0 ).
Ainsi d'après le tableau de variation ci-dessous :
La fonction f possède :
deux maximums locaux : f(−0,1)=2,001 et f(0,1)=2,001
un minimum local : f(0)=2
Exercice 3
Soit f une fonction définie et continue sur [−5;0] par f(x)=x2−4x+52x3+2x2−8x+10
1
Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [−5;0] , on a : f′(x)=(x2−4x+5)22x2(x2−8x+15)
Correction
f est dérivable sur [−5;0] car ici le dénominateur ne s'annule que pour les valeurs 1 et 4. ( c'est facile à montrer on calcule le delta du dénominateur). On reconnaît la forme (vu)′=v2u′v−uv′ avec u(x)=2x3+2x2−8x+10 et v(x)=x2−4x+5 Ainsi : u′(x)=6x2+4x−8 et v′(x)=2x−4. Il vient alors que : f′(x)=(x2−4x+5)2(6x2+4x−8)×(x2−4x+5)−(2x3+2x2−8x+10)×(2x−4) f′(x)=(x2−4x+5)2(6x4−24x3+30x2+4x3−16x2+20x−8x2+32x−40)−(4x4−8x3+4x3−8x2−16x2+32x+20x−40) f′(x)=(x2−4x+5)2(6x4−20x3+6x2+52x−40)−(4x4−4x3−24x2+52x−40) f′(x)=(x2−4x+5)26x4−20x3+6x2+52x−40−4x4+4x3+24x2−52x+40 f′(x)=(x2−4x+5)22x4−16x3+30x2 . Nous allons maintenant décomposer par 2x2 les termes du numérateur en faisant apparaitre un facteur commun. f′(x)=(x2−4x+5)22x2×x2−2x2×8x+2x2×15. Maintenant nous allons factoriser par 2x2 .
f′(x)=(x2−4x+5)22x2(x2−8x+15)
2
Etudier le signe de f′ et en déduire le tableau de variation de f.
Correction
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [−5;0] , on peut affirmer que : 2x2≥0 car un carré est positif ou nul. (x2−4x+5)2≥0 car un carré est positif ou nul. Il en résulte donc que le signe de f′ ne dépend que du signe de x2−8x+15. Pour l'étude du signe de x2−8x+15, on va utiliser le discriminant. Alors a=1; b=−8 et c=15. Or Δ=b2−4ac donc Δ=4. Il existe donc deux racines réelles distinctes.
x1=2a−b−Δ ce qui donne x1=3.
x2=2a−b+Δ ce qui donne x2=5.
Comme a=1>0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Pour nous aider à visualiser, nous allons dresser le tableau de signe de x2−8x+15 sur R puis ensuite nous regarderons plus précisément le signe de x2−8x+15 sur [−5;0] .
Cela signifie donc que sur l'intervalle [−5;0], on a : x2−8x+15>0 comme cela se vérifie à l'aide du tableau de signe ci-dessus. On en déduit le tableau de variation suivant :
3
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0.
Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a).
Ici a=0, ce qui donne, y=f′(0)(x−0)+f(0). 1ère étape : calculer f(0) f(0)=02−4×0+52×03+2×02−8×0+10 f(0)=2 2ème étape : calculer f′(0) f′(0)=(02−4×0+5)2(2×02)(02−8×0+15) f′(0)=0 3ème étape : on remplace les valeurs de f(0) et de f′(0) dans la formule de l'équation de tangente. On sait que : y=f′(0)(x−0)+f(0) y=0×(x−0)+2 y=2 Ainsi l'équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 0 est alors y=2.
Connecte-toi pour accéder à tes fiches !
Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte. Si tu n'en as pas, inscris-toi et essaie gratuitement pendant 24h.
J'ai 20 en maths – et ses partenaires – utilisent des cookies aux fins de fournir leurs services. En utilisant le site, vous consentez à cette utilisation selon les modalités décrites dans nos Conditions générales d'utilisation et de vente.