Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Applications de la dérivation
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 1
10 min
15
On considère la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par :
f
(
x
)
=
x
3
+
4
x
−
5
f\left(x\right)=x^{3} +4x-5
f
(
x
)
=
x
3
+
4
x
−
5
.
Question 1
Montrer que
f
f
f
est croissante sur
R
\mathbb{R}
R
.
Correction
Si
f
′
f'
f
′
est négative sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
f
f
f
est décroissante sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
Si
f
′
f'
f
′
est positive sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
f
f
f
est croissante sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
Pour démontrer que
f
f
f
est croissante, nous allons calculer la dérivée de
f
f
f
puis étudier le signe de la dérivée de
f
f
f
.
Soit
f
(
x
)
=
x
3
+
4
x
−
5
f\left(x\right)=x^{3} +4x-5
f
(
x
)
=
x
3
+
4
x
−
5
.
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
3
x
2
+
4
f'\left(x\right)=3x^{2} +4
f
′
(
x
)
=
3
x
2
+
4
.
Nous allons étudier le signe de
f
′
f'
f
′
.
Pour tout réel
x
x
x
, on sait que :
x
2
≥
0
x^{2}\ge 0
x
2
≥
0
ainsi
3
x
2
≥
0
3x^{2}\ge 0
3
x
2
≥
0
et d'où
3
x
2
+
4
≥
4
3x^{2} +4\ge 4
3
x
2
+
4
≥
4
.
Finalement
3
x
2
+
4
>
0
3x^{2} +4>0
3
x
2
+
4
>
0
Il en résulte donc que :
f
′
(
x
)
>
0
f'\left(x\right)>0
f
′
(
x
)
>
0
Il vient alors que :
Question 2
Déterminer
f
(
1
)
f\left(1\right)
f
(
1
)
. Que peut-on en déduire quant au signe de
f
f
f
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Correction
f
(
1
)
=
1
3
+
4
×
1
−
5
f\left(1\right)=1^{3} +4\times 1-5
f
(
1
)
=
1
3
+
4
×
1
−
5
f
(
1
)
=
1
+
4
−
5
f\left(1\right)=1 +4-5
f
(
1
)
=
1
+
4
−
5
f
(
1
)
=
0
f\left(1\right)=0
f
(
1
)
=
0
Intégrons cette information dans le tableau de variation de
f
f
f
. Il vient que :
La fonction
f
f
f
étant strictement croissante sur
R
\mathbb{R}
R
et s'annulant uniquement pour
x
=
1
x=1
x
=
1
alors, on peut en déduire que :
Si
x
∈
]
−
∞
;
1
]
x\in \left]-\infty;1\right]
x
∈
]
−
∞
;
1
]
alors
f
(
x
)
≤
0
f\left(x\right)\le 0
f
(
x
)
≤
0
Si
x
∈
[
1
;
+
∞
[
x\in \left[1;+\infty\right[
x
∈
[
1
;
+
∞
[
alors
f
(
x
)
≥
0
f\left(x\right)\ge 0
f
(
x
)
≥
0
Cela nous permet d'obtenir le tableau de signe de
f
f
f
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 3
Montrer alors, que pour tout
x
≥
1
x\ge 1
x
≥
1
, on a :
x
3
≥
5
−
4
x
x^{3}\ge 5-4x
x
3
≥
5
−
4
x
.
Correction
D'après la question
2
2
2
, nous savons que :
Il en résulte donc que sur
x
∈
[
1
;
+
∞
[
x\in \left[1;+\infty\right[
x
∈
[
1
;
+
∞
[
on a :
f
(
x
)
≥
0
f\left(x\right)\ge 0
f
(
x
)
≥
0
Ce qui nous permet d'écrire :
f
(
x
)
≥
0
f\left(x\right)\ge 0
f
(
x
)
≥
0
équivaut successivement à :
x
3
+
4
x
−
5
≥
0
x^{3} +4x-5\ge 0
x
3
+
4
x
−
5
≥
0
x
3
≥
−
4
x
+
5
x^{3} \ge -4x+5
x
3
≥
−
4
x
+
5
qui s'écrit également
x
3
≥
5
−
4
x
x^{3}\ge 5-4x
x
3
≥
5
−
4
x
.