Etudier le sens de variation d'une fonction à l'aide de la dérivée - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=5\times 2x+15$$

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$10x+15\ge 0$$
$$10x\ge -15$$
$$x\ge \frac{-15}{10}$$
$$x\ge -\frac{3}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$10x+15$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{3}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{3}{2}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{3}{2};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-14x+63$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-14x+63\ge 0$$
$$-14x\ge -63$$
$$x\le \frac{-63}{-14}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 4,5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-14x+63$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$4,5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;4,5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[4,5;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=x^{2}-8x+7$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$x^{2}-8x+7$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=1$$; $$b=-8$$ et $$c=7$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta = \left(-8\right)^{2}-4\times1\times7=36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{36 } }{2\times 1}$$ d'où : $$x_{1} =1$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{36 } }{2\times 1}$$ d'où : $$x_{2} =7$$.

Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f\left(0\right)= \frac{1}{3}\times 0^{3} -4\times 0^{2} +7\times 0-9$$ d'où $$f\left(0\right)= -9$$

$$f\left(1\right)= \frac{1}{3}\times 1^{3} -4\times 1^{2} +7\times 1-9$$ d'où $$f\left(1\right)= -\frac{17}{3}$$

$$f\left(7\right)= \frac{1}{3}\times 7^{3} -4\times 7^{2} +7\times 7-9$$ d'où $$f\left(7\right)= -\frac{125}{3}$$

$$f\left(10\right)= \frac{1}{3}\times 10^{3} -4\times 10^{2} +7\times 10-9$$ d'où $$f\left(10\right)= -\frac{17}{3}$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-6x^{2}-6x$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$-6x^{2}-6x$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=-6$$; $$b=-6$$ et $$c=0$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta = \left(-6\right)^{2}-4\times(-6)\times0=36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{36 } }{2\times (-6)}$$ d'où : $$x_{1} =0$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{36 } }{2\times (-6)}$$ d'où : $$x_{2} =-1$$.

Comme $$a=-6<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
[

$$f\left(-2\right)= -2\times\left(-2\right)^{3} -3\times\left(-2\right)^{2}$$ d'où $$f\left(-2\right)= 4$$

$$f\left(-1\right)= -2\times \left(-1\right)^{3} -3 \times \left(-1\right)^{2}$$ d'où $$f\left(-1\right)= -1$$

$$f\left(0\right)= -2\times 0^{3} -3\times0^{2}$$ d'où $$f\left(0\right)= 0$$

$$f\left(2\right)=-2 \times 2^{3} -3\times 2^{2}$$ d'où $$f\left(2\right)= -28$$