Applications de la dérivation

Etudier le sens de variation d'une fonction à l'aide de la dérivée - Exercice 2

7 min
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Pour les fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée, son signe puis dresser le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ .
Question 1

f(x)=6x2+48x−12f\left(x\right)=6x^{2} +48x-12

Correction
  • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
f′(x)=6×2x+48f'\left(x\right)=6\times 2x+48
f′(x)=12x+48f'\left(x\right)=12x+48

Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0.
En effet, en résolvant f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
12x+48≥012x+48\ge 0
12x≥−4812x\ge -48
x≥−4812x\ge \frac{-48}{12}
x≥−4x\ge -4
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 12x+4812x+48 lorsque xx sera supérieur ou égale à −4-4.
Il en résulte donc que :
  • si x∈]−∞;−4]x\in\left]-\infty;-4\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
  • si x∈[−4;+∞[x\in\left[-4;+\infty\right[ alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
  • f(−4)=6×(−4)2+48×(−4)−12f\left(-4\right)=6\times\left(-4\right)^{2} +48\times \left(-4\right)-12 ainsi f(−4)=−108f\left(-4\right)=-108
    • Question 2

    f(x)=−7,5x2+120x−30f\left(x\right)=-7,5x^{2}+120x-30

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous savons que : f′(x)=−15x+120f'\left(x\right)=-15x+120
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    −15x+120≥0-15x+120\ge 0
    −15x≥−120-15x\ge -120
    x≤−120−15x\le \frac{-120}{-15} . Attention : on change le sens de l’ineˊquation car on divise par un neˊgatif.{\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}
    x≤8x\le 8
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −15x+120-15x+120 lorsque xx sera inférieur ou égale à 88.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈]−∞;8]x\in\left]-\infty;8\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[8;+∞[x\in\left[8;+\infty\right[ alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
  • f(8)=−7,5×(8)2+120×(8)−30f\left(8\right)=-7,5\times\left(8\right)^{2} +120\times \left(8\right)-30 ainsi f(8)=450f\left(8\right)=450