Etudier le sens de variation d'une fonction à l'aide de la dérivée - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=3\times 2x+12$$

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$6x+12\ge 0$$
$$6x\ge -12$$
$$x\ge \frac{-12}{6}$$
$$x\ge -2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$6x+12$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-2$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-2;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-4x+90$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-4x+90\ge 0$$
$$-4x\ge -90$$
$$x\le \frac{-90}{-4}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 22,5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4x+90$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$22,5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;22,5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[22,5;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=-2x+6$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-2x+6\ge 0$$
$$-2x\ge -6$$
$$x\le \frac{-6}{-2}$$ $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+6$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$3$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;3\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[3;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=4\times 2x-80$$
$$f'\left(x\right)=8x-80$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$8x-80\ge 0$$
$$8x\ge 80$$
$$x\ge \frac{80}{8}$$
$$x\ge 10$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$8x-80$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$10$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;10\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[10;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=3x^{2} -3$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$3x^{2} -3$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=3$$; $$b=0$$ et $$c=-3$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =-1$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =1$$.

Comme $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 3x^{2} -3\times 2x+5$$
$$f'\left(x\right)=x^{2} -6x+5$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$x^{2} -6x+5$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=1$$; $$b=-6$$ et $$c=5$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =16$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =1$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =5$$.

Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x+1$$ et $$v\left(x\right)=x-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \left(x-2\right)+\left(x+1\right)\times 1$$
$$f'\left(x\right)=x-2+x+1$$
$$f'\left(x\right)=2x-1$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$2x-1\ge 0$$
$$2x\ge 1$$
$$x\ge \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$2x-1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{1}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-3x+2$$ et $$v\left(x\right)=2x+6$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-3$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-3\times \left(2x+6\right)+\left(-3x+2\right)\times 2$$
$$f'\left(x\right)=-6x-18-6x+4$$
$$f'\left(x\right)=-12x-14$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-12x-14\ge 0$$
$$-12x\ge 14$$
$$x\le \frac{14}{-12}$$ $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le -\frac{7}{6}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-12x-14$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-\frac{7}{6}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{7}{6}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{7}{6};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{1\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=x+2$$ et $$v\left(x\right)=3x-3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=3$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(3x-3\right)-\left(x+2\right)\times \left(3\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x-3-\left(3x+6\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x-3-3x-6}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-9}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
Pour tout réel $$x$$ différent de $$1$$, on sait que $$\left(3x-3\right)^{2}>0$$ et que $$-9<0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{4\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=-2x+1$$ et $$v\left(x\right)=x-4$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\right)\times \left(x-4\right)-\left(-2x+1\right)\times 1}{\left(x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x+8-\left(-2x+1\right)}{\left(x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x+8+2x-1}{\left(x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{7}{\left(x-4\right)^{2} }$$
Pour tout réel $$x$$ différent de $$4$$, on sait que $$\left(x-4\right)^{2}>0$$ et que $$7>0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :