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Comment étudier les variations d'une fonction rationnelle de la forme f(x)=ax+bcx+df\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} - Exercice 1

20 min
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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} par f(x)=x+23x−3f\left(x\right)=\frac{x+2}{3x-3} .
  • Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff.
  • Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
    • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} (on enlève la valeur interdite).
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On a : u(x)=x+2u\left(x\right)=x+2 et v(x)=3x−3v\left(x\right)=3x-3
    Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=3v'\left(x\right)=3.
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×(3x−3)−(x+2)×(3)(3x−3)2f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(3x-3\right)-\left(x+2\right)\times \left(3\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }
    f′(x)=3x−3−(3x+6)(3x−3)2f'\left(x\right)=\frac{3x-3-\left(3x+6\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }
    f′(x)=3x−3−3x−6(3x−3)2f'\left(x\right)=\frac{3x-3-3x-6}{\left(3x-3\right)^{2} }
    Ainsi :
    f′(x)=−9(3x−3)2f'\left(x\right)=\frac{-9}{\left(3x-3\right)^{2} }

    Pour tout réel xx différent de 11, on sait que (3x−3)2>0\left(3x-3\right)^{2}>0 et que −9<0-9<0. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :
    Question 2

    Soit ff la fonction définie sur R−{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\} par f(x)=−2x+1x−4f\left(x\right)=\frac{-2x+1}{x-4} .
  • Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff.
  • Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
    • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R−{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R−{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\} (on enlève la valeur interdite).
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On a : u(x)=−2x+1u\left(x\right)=-2x+1 et v(x)=x−4v\left(x\right)=x-4
    Ainsi : u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2 et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=(−2)×(x−4)−(−2x+1)×1(x−4)2f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\right)\times \left(x-4\right)-\left(-2x+1\right)\times 1}{\left(x-4\right)^{2} }
    f′(x)=−2x+8−(−2x+1)(x−4)2f'\left(x\right)=\frac{-2x+8-\left(-2x+1\right)}{\left(x-4\right)^{2} }
    f′(x)=−2x+8+2x−1(x−4)2f'\left(x\right)=\frac{-2x+8+2x-1}{\left(x-4\right)^{2} }
    Ainsi :
    f′(x)=7(x−4)2f'\left(x\right)=\frac{7}{\left(x-4\right)^{2} }

    Pour tout réel xx différent de 44, on sait que (x−4)2>0\left(x-4\right)^{2}>0 et que 7>07>0. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :
    Question 3

    Soit ff la fonction définie sur R−{2}\mathbb{R}-\left\{2\right\} par f(x)=4x+5−x+2f\left(x\right)=\frac{4x+5}{-x+2} .
  • Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff.
  • Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
    • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R−{2}\mathbb{R}-\left\{2\right\} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R−{2}\mathbb{R}-\left\{2\right\} (on enlève la valeur interdite).
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On a : u(x)=4x+5u\left(x\right)=4x+5 et v(x)=−x+2v\left(x\right)=-x+2
    Ainsi : u′(x)=4u'\left(x\right)=4 et v′(x)=−1v'\left(x\right)=-1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=4×(−x+2)−(4x+5)×(−1)(−x+2)2f'\left(x\right)=\frac{4\times \left(-x+2\right)-\left(4x+5\right)\times \left(-1\right)}{\left(-x+2\right)^{2} }
    f′(x)=−4x+8−(−4x−5)(−x+2)2f'\left(x\right)=\frac{-4x+8-\left(-4x-5\right)}{\left(-x+2\right)^{2} }
    f′(x)=−4x+8+4x+5(−x+2)2f'\left(x\right)=\frac{-4x+8+4x+5}{\left(-x+2\right)^{2} }
    Ainsi :
    f′(x)=13(−x+2)2f'\left(x\right)=\frac{13}{\left(-x+2\right)^{2} }

    Pour tout réel xx différent de 22, on sait que (−x+2)2>0\left(-x+2\right)^{2}>0 et que 13>013>0. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :
    Question 4

    Soit ff la fonction définie sur R−{75}\mathbb{R}-\left\{\frac{7}{5}\right\} par f(x)=2x5x−7f\left(x\right)=\frac{2x}{5x-7} .
  • Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff.
  • Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
    • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R−{75}\mathbb{R}-\left\{\frac{7}{5}\right\} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R−{75}\mathbb{R}-\left\{\frac{7}{5}\right\} (on enlève la valeur interdite).
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On a : u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=5x−7v\left(x\right)=5x-7
    Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=5v'\left(x\right)=5.
    Il vient alors que :
    f′(x)=2×(5x−7)−2x×5(5x−7)2f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(5x-7\right)-2x\times 5}{\left(5x-7\right)^{2} }
    f′(x)=10x−14−10x(5x−7)2f'\left(x\right)=\frac{10x-14-10x}{\left(5x-7\right)^{2} }
    Ainsi :
    f′(x)=−14(5x−7)2f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(5x-7\right)^{2} }

    Pour tout réel xx différent de {75}\left\{\frac{7}{5}\right\}, on sait que (5x−7)2>0\left(5x-7\right)^{2}>0 et que −14<0-14<0. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :