Applications de la dérivation

Comment étudier les variations d'une fonction rationnelle de la forme f(x)=ax2+bx+cdx+ef\left(x\right)=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e} - Exercice 2

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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R−{−2}\mathbb{R}-\left\{-2\right\} par f(x)=x2+x−1x+2f\left(x\right)=\frac{x^2+x-1}{x+2} .
  • Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff.
  • Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
    • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R−{−2}\mathbb{R}-\left\{-2\right\} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R−{−2}\mathbb{R}-\left\{-2\right\} (on enlève la valeur interdite).
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On a : u(x)=x2+x−1u\left(x\right)=x^2+x-1 et v(x)=x+2v\left(x\right)=x+2
    Ainsi : u′(x)=2x+1u'\left(x\right)=2x+1 et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=(2x+1)×(x+2)−(x2+x−1)×1(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{\left(2x+1\right)\times \left(x+2\right)-\left(x^2+x-1\right)\times 1}{{\left(x+2\right)}^2}
    f′(x)=2x2+4x+x+2−(x2+x−1)(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+x+2-\left(x^2+x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}
    f′(x)=2x2+4x+x+2−x2−x+1(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{{\left(x+2\right)}^2}
    Ainsi :
    f′(x)=x2+4x+3(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{x^2+4x+3}{{\left(x+2\right)}^2}

    Pour tout réel x≠−2x\ne -2 , on vérifie facilement que (x+2)2>0{\left(x+2\right)}^2>0. Il nous faut étudier le signe du numérateur.
    Pour l'étude du signe de x2+4x+3x^2+4x+3, on va utiliser le discriminant.
    Alors a=1a=1; b=4b=4 et c=3c=3.
    Or Δ=b2−4ac\Delta =b^{2} -4ac donc Δ=4\Delta =4.
    Il existe donc deux racines réelles distinctes.
    • x1=−b−Δ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x1=−3x_{1} =-3.
    • x2=−b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x2=−1x_{2} =-1.
    Comme a=1>0a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
    On en déduit le tableau de variation suivant :
    Or :
    f(−3)=(−3)2−3+1−3+2=−5f\left(-3\right)=\frac{\left(-3\right)^2-3+1}{-3+2}=-5 et f(−1)=(−1)2−1+1−1+2=−1f\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^2-1+1}{-1+2}=-1