Comment étudier les variations d'une fonction rationnelle de la forme $f\left(x\right)=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ - Exercice 1

10 min

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ par $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2x-1}$ .
Déterminer l'expression de la dérivée $f'$ de $f$ .
Etudier le signe de $f'\left(x\right)$ en fonction de $x$ .
En déduire le tableau de variation de $f$ .
Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ .

Correction

Si $f'$ est négative sur $\left[a;b\right]$ alors $f$ est décroissante sur $\left[a;b\right]$ .
Si $f'$ est positive sur $\left[a;b\right]$ alors $f$ est croissante sur $\left[a;b\right]$ .

f

est dérivable sur

\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}

(on enlève la valeur interdite).

\text{\purple{Dérivée du quotient}}

On considère deux fonctions

u

v

, dérivables sur un intervalle

I

alors

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

On a :

u\left(x\right)=x^2

v\left(x\right)=2x-1

Ainsi :

u'\left(x\right)=2x

v'\left(x\right)=2

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=\frac{2x\times \left(2x-1\right)-x^2\times 2}{{\left(2x-1\right)}^2}

f'\left(x\right)=\frac{4x^2-2x-2x^2}{{\left(2x-1\right)}^2}

f'\left(x\right)=\frac{2x^2-2x}{{\left(2x-1\right)}^2}

f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x}}\times x-{\color{blue}{2x}}\times1}{{\left(2x-1\right)}^2}

. Nous allons pouvoir factoriser le numérateur par

{\color{blue}{2x}}

.
Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x}}\left(x-1\right)}{{\left(2x-1\right)}^2}

Pour tout réel

x\ne \frac{1}{2}

, on vérifie facilement que

{\left(2x-1\right)}^2>0

. Il nous faut étudier le signe du numérateur.
Il vient que :

2x\ge 0\Longleftrightarrow x\ge \frac{0}{2}\Longleftrightarrow x\ge 0

x-1\ge 0\Longleftrightarrow x\ge 1

Nous résumons cela dans un tableau variation ci-dessous :

Or :

f\left(0\right)=\frac{0^2}{2\times0-1}=0

f\left(1\right)=\frac{1^2}{2\times1-1}=1

Nous aurions pu également étudier le signe de

2x^2-2x

à l'aide du discriminant.

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