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Comment étudier les variations d'une fonction rationnelle de la forme f(x)=ax2+bx+cdx+ef\left(x\right)=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e} - Exercice 1

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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R−{12}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} par f(x)=x22x−1f\left(x\right)=\frac{x^2}{2x-1} .
  • Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff.
  • Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
    • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R−{12}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R−{12}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} (on enlève la valeur interdite).
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On a : u(x)=x2u\left(x\right)=x^2 et v(x)=2x−1v\left(x\right)=2x-1
    Ainsi : u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
    Il vient alors que :
    f′(x)=2x×(2x−1)−x2×2(2x−1)2f'\left(x\right)=\frac{2x\times \left(2x-1\right)-x^2\times 2}{{\left(2x-1\right)}^2}
    f′(x)=4x2−2x−2x2(2x−1)2f'\left(x\right)=\frac{4x^2-2x-2x^2}{{\left(2x-1\right)}^2}
    f′(x)=2x2−2x(2x−1)2f'\left(x\right)=\frac{2x^2-2x}{{\left(2x-1\right)}^2}
    f′(x)=2x×x−2x×1(2x−1)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x}}\times x-{\color{blue}{2x}}\times1}{{\left(2x-1\right)}^2} . Nous allons pouvoir factoriser le numérateur par 2x{\color{blue}{2x}} .
    Ainsi :
    f′(x)=2x(x−1)(2x−1)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x}}\left(x-1\right)}{{\left(2x-1\right)}^2}

    Pour tout réel x≠12x\ne \frac{1}{2} , on vérifie facilement que (2x−1)2>0{\left(2x-1\right)}^2>0. Il nous faut étudier le signe du numérateur.
    Il vient que :
    2x≥0⟺x≥02⟺x≥02x\ge 0\Longleftrightarrow x\ge \frac{0}{2}\Longleftrightarrow x\ge 0
    x−1≥0⟺x≥1x-1\ge 0\Longleftrightarrow x\ge 1
    Nous résumons cela dans un tableau variation ci-dessous :
    Or :
    f(0)=022×0−1=0f\left(0\right)=\frac{0^2}{2\times0-1}=0 et f(1)=122×1−1=1f\left(1\right)=\frac{1^2}{2\times1-1}=1
    Nous aurions pu également étudier le signe de 2x2−2x2x^2-2x à l'aide du discriminant.