Comment étudier les variations d'une fonction produit de la forme $$f\left(x\right)=\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)$$ - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x+1$$ et $$v\left(x\right)=x-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \left(x-2\right)+\left(x+1\right)\times 1$$
$$f'\left(x\right)=x-2+x+1$$
$$f'\left(x\right)=2x-1$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$2x-1\ge 0$$
$$2x\ge 1$$
$$x\ge \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$2x-1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{1}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :
$$f\left(\frac{1}{2} \right)=\left(\frac{1}{2} +1\right)\left(\frac{1}{2} -2\right)=-\frac{9}{4}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-3x+2$$ et $$v\left(x\right)=2x+6$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-3$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-3\times \left(2x+6\right)+\left(-3x+2\right)\times 2$$
$$f'\left(x\right)=-6x-18-6x+4$$
$$f'\left(x\right)=-12x-14$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-12x-14\ge 0$$
$$-12x\ge 14$$
$$x\le \frac{14}{-12}$$ $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le -\frac{7}{6}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-12x-14$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-\frac{7}{6}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{7}{6}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{7}{6};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :
$$f\left(-\frac{7}{6}\right)=\left(-3\times\left(-\frac{7}{6}\right)+2\right)\left(2\times\left(-\frac{7}{6}\right)+6\right)=\frac{121}{6}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-4x-2$$ et $$v\left(x\right)=-x-5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-4$$ et $$v'\left(x\right)=-1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-4\times \left(-x-5\right)+\left(-4x-2\right)\times \left(-1\right)$$
$$f'\left(x\right)=4x+20+4x+2$$
$$f'\left(x\right)=8x+22$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$8x+22\ge 0$$
$$8x\ge -22$$
$$x\ge \frac{-22}{8}$$
$$x\ge -\frac{11}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$8x+22$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{11}{4}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{11}{4}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{11}{4};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :De plus :
$$f\left(-\frac{11}{4}\right)=\left(-4\times\left(-\frac{11}{4}\right)-2\right)\left(-\left(-\frac{11}{4}\right)-5\right)=-\frac{81}{4}$$