Comment étudier les variations d'une fonction de la forme $$f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$$ - Exercice 3

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=x^{2}-8x+7$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$x^{2}-8x+7$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=1$$; $$b=-8$$ et $$c=7$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta = \left(-8\right)^{2}-4\times1\times7=36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{36 } }{2\times 1}$$ d'où : $$x_{1} =1$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{36 } }{2\times 1}$$ d'où : $$x_{2} =7$$.

Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f\left(0\right)= \frac{1}{3}\times 0^{3} -4\times 0^{2} +7\times 0-9$$ d'où $$f\left(0\right)= -9$$

$$f\left(1\right)= \frac{1}{3}\times 1^{3} -4\times 1^{2} +7\times 1-9$$ d'où $$f\left(1\right)= -\frac{17}{3}$$

$$f\left(7\right)= \frac{1}{3}\times 7^{3} -4\times 7^{2} +7\times 7-9$$ d'où $$f\left(7\right)= -\frac{125}{3}$$

$$f\left(10\right)= \frac{1}{3}\times 10^{3} -4\times 10^{2} +7\times 10-9$$ d'où $$f\left(10\right)= -\frac{17}{3}$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-6x^{2}-6x$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$-6x^{2}-6x$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=-6$$; $$b=-6$$ et $$c=0$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta = \left(-6\right)^{2}-4\times(-6)\times0=36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{36 } }{2\times (-6)}$$ d'où : $$x_{1} =0$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{36 } }{2\times (-6)}$$ d'où : $$x_{2} =-1$$.

Comme $$a=-6<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f\left(-2\right)= -2\times\left(-2\right)^{3} -3\times\left(-2\right)^{2}$$ d'où $$f\left(-2\right)= 4$$

$$f\left(-1\right)= -2\times \left(-1\right)^{3} -3 \times \left(-1\right)^{2}$$ d'où $$f\left(-1\right)= -1$$

$$f\left(0\right)= -2\times 0^{3} -3\times0^{2}$$ d'où $$f\left(0\right)= 0$$

$$f\left(2\right)=-2 \times 2^{3} -3\times 2^{2}$$ d'où $$f\left(2\right)= -28$$