- Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
- Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
f est dérivable sur
R.
f′(x)=3×2x+12 f′(x)=6x+12 Ici la dérivée est une fonction du
1er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation
f′(x)≥0.
En effet, en résolvant
f′(x)≥0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
f′(x)≥0 équivaut successivement à
6x+12≥06x≥−12x≥6−12x≥−2Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
6x+12 lorsque
x sera supérieur ou égale à
−2.
Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;−2] alors f′(x)≤0 et donc f est décroissante sur cet intervalle.
- si x∈[−2;+∞[ alors f′(x)≥0 et donc f est croissante sur cet intervalle.
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
f(−2)=3×(−2)2+12×(−2)−1=−13