Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  

Comment étudier les variations d'une fonction de la forme f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^2+bx+c - Exercice 1

25 min
40
Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+12x1f\left(x\right)=3x^{2} +12x-1 .
  • Déterminer l'expression de la dérivée ff' de ff.
  • Etudier le signe de f(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
  • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=3×2x+12f'\left(x\right)=3\times 2x+12
    f(x)=6x+12f'\left(x\right)=6x+12

    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f(x)0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f(x)0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    6x+1206x+12\ge 0
    6x126x\ge -12
    x126x\ge \frac{-12}{6}
    x2x\ge -2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 6x+126x+12 lorsque xx sera supérieur ou égale à 2-2.
    Il en résulte donc que :
    • si x];2]x\in\left]-\infty;-2\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x[2;+[x\in\left[-2;+\infty\right[ alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    On a :
    f(2)=3×(2)2+12×(2)1=13f\left(-2\right)=3\times\left(-2\right)^{2} +12\times\left(-2\right)-1=-13
    Question 2

    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2+90x400f\left(x\right)=-2x^{2}+90x-400 .
  • Déterminer l'expression de la dérivée ff' de ff.
  • Etudier le signe de f(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
  • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous savons que : f(x)=4x+90f'\left(x\right)=-4x+90
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f(x)0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f(x)0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    4x+900-4x+90\ge 0
    4x90-4x\ge -90
    x904x\le \frac{-90}{-4} . Attention : on change le sens de l’ineˊquation car on divise par un neˊgatif.{\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}
    x22,5x\le 22,5
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 4x+90-4x+90 lorsque xx sera inférieur ou égale à 22,522,5.
    Il en résulte donc que :
    • si x];22,5]x\in\left]-\infty;22,5\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x[22,5;+[x\in\left[22,5;+\infty\right[ alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    On a :
    f(22.5)=2×22.52+90×22.5400=612.5f\left(22.5\right)=-2\times22.5^{2}+90\times22.5-400=612.5
    Question 3

    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+6x+2f\left(x\right)=-x^{2} +6x+2 .
  • Déterminer l'expression de la dérivée ff' de ff.
  • Etudier le signe de f(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
  • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=2x+6f'\left(x\right)=-2x+6
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f(x)0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f(x)0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    2x+60-2x+6\ge 0
    2x6-2x\ge -6
    x62x\le \frac{-6}{-2} Attention : on change le sens de l’ineˊquation car on divise par un neˊgatif.{\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}
    x3x\le 3
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 2x+6-2x+6 lorsque xx sera inférieur ou égale à 33.
    Il en résulte donc que :
    • si x];3]x\in\left]-\infty;3\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x[3;+[x\in\left[3;+\infty\right[ alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    On a :
    f(3)=32+6×3+2=11f\left(3\right)=-3^{2} +6\times3+2=11
    Question 4

    Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x280x+7f\left(x\right)=4x^{2} -80x+7 .
  • Déterminer l'expression de la dérivée ff' de ff.
  • Etudier le signe de f(x)f'\left(x\right) en fonction de xx.
  • En déduire le tableau de variation de ff.
  • Cela peut également se résumer en une question : étudier les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    f(x)=4×2x80f'\left(x\right)=4\times 2x-80
    f(x)=8x80f'\left(x\right)=8x-80
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f(x)0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f(x)0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    8x8008x-80\ge 0
    8x808x\ge 80
    x808x\ge \frac{80}{8}
    x10x\ge 10
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 8x808x-80 lorsque xx sera supérieur ou égale à 1010.
    Il en résulte donc que :
    • si x];10]x\in\left]-\infty;10\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x[10;+[x\in\left[10;+\infty\right[ alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    On a :
    f(10)=4×10280×10+7=393f\left(10\right)=4\times10^{2} -80\times10+7=-393