Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler - Exercice 3

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Grâce à la vaccination, le nombre de cas d'une maladie infantile diminue dans une région.
Question 1

Vérifier à la calculatrice qu'une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés est y=−45x+980y=-45x+980.

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
La calculatrice donne exactement a=−45a=-45 et b=980b=980 :
y=−45x+980y=-45x+980

Question 2

Estimer le nombre de cas en 20262026.

Correction
L'année 20262026 correspond au rang x=11x=11.
y=−45×11+980=485y=-45\times 11+980=485
y=485y=485

Selon ce modèle, on peut estimer à environ 485485 le nombre de cas en 20262026.
Question 3

Selon ce modèle, à partir de quelle année le nombre de cas deviendrait-il négatif ?

Correction
On résout −45x+980<0-45x+980\lt 0.
−45x+980<0-45x+980\lt 0 équivaut successivement à :
−45x<−980-45x\lt -980
x>−980−45x\gt \dfrac{-980}{-45} (on divise par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change)
Or −980−45≈21,78\dfrac{-980}{-45}\approx 21{,}78 : le premier rang entier qui convient est x=22x=22, qui correspond à l'année 20372037.
Selon ce modèle, le nombre de cas deviendrait négatif à partir de 20372037.
Question 4

Ce dernier résultat a-t-il un sens ? Que peut-on en conclure sur l'ajustement ?

Correction
Non : un nombre de cas ne peut pas être négatif. La droite (d)\left(d\right) coupe l'axe des abscisses vers le rang 2222, bien au-delà de la période étudiée (20162016 à 20242024).
Un ajustement affine ne décrit la situation que sur une période limitée : une extrapolation lointaine n'est pas fiable.

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