Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler - Exercice 2

15 min
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Une ville relève tous les deux ans le nombre de places en crèche.
Question 1

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,10{,}1 près.

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
Une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés, obtenue à l'aide de la calculatrice, est :
y=14,5x+260,5y=14{,}5x+260{,}5

(coefficients arrondis à 0,10{,}1 près)
Question 2

Quel rang correspond à l'année 20282028 ? En déduire une estimation du nombre de places en crèche en 20282028.

Correction
Les années vont de 22 en 22 : 20122012 a le rang 11, 20142014 le rang 22, et ainsi de suite. De 20122012 à 20282028, il y a 1616 ans, soit 88 intervalles de 22 ans : l'année 20282028 correspond au rang 1+8=91+8=9.
y=14,5×9+260,5=391y=14{,}5\times 9+260{,}5=391
y=391y=391

Selon ce modèle, la ville aurait environ 391391 places en crèche en 20282028.
Question 3

Selon ce modèle, à partir de quelle année de relevé le nombre de places dépassera-t-il 450450 ?

Correction
On résout 14,5x+260,5>45014{,}5x+260{,}5\gt 450.
14,5x+260,5>45014{,}5x+260{,}5\gt 450 équivaut successivement à :
14,5x>450−260,514{,}5x\gt 450-260{,}5
14,5x>189,514{,}5x\gt 189{,}5
x>189,514,5x\gt \dfrac{189{,}5}{14{,}5}
Or 189,514,5≈13,07\dfrac{189{,}5}{14{,}5}\approx 13{,}07 : le premier rang entier qui convient est x=14x=14.
Le rang 1414 correspond à l'année 2012+2×13=20382012+2\times 13=2038.
Selon ce modèle, le nombre de places dépassera 450450 à partir de 20382038.

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