Tout ce qu'il faut savoir sur les séries statistiques à deux variables : nuage de points, point moyen et ajustement affine

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Le tableau ci-dessous donne le nombre de consultations (en milliers) d'un centre de santé de $$2019$$ à $$2024$$. On note $$\blue{x_i}$$ le rang de l'année et $$\red{y_i}$$ le nombre de consultations.

Représenter le nuage de points associé à cette série.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
On place le rang de l'année en abscisse et le nombre de consultations en ordonnée. Toutes les valeurs de $$y_i$$ dépassent $$12$$ : on peut faire commencer l'axe des ordonnées à $$10$$.
On place successivement les points de coordonnées $$\left(1;12{,}4\right)$$, $$\left(2;13{,}2\right)$$, $$\left(3;14{,}1\right)$$, $$\left(4;14{,}9\right)$$, $$\left(5;15{,}8\right)$$ et $$\left(6;16{,}6\right)$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Calculer les coordonnées du point moyen $$G$$ du nuage de points de l'exemple précédent, puis placer le point $$G$$.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
$$\blue{\overline{x}}=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5$$
$$\red{\overline{y}}=\dfrac{12{,}4+13{,}2+14{,}1+14{,}9+15{,}8+16{,}6}{6}=\dfrac{87}{6}=14{,}5$$
Les coordonnées du point moyen sont donc : $$G\left(3{,}5;14{,}5\right)$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $$\left(d\right)$$ d'ajustement de $$y$$ en $$x$$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $$0{,}01$$ près.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Les points du nuage sont presque alignés : un ajustement affine est adapté.
La calculatrice donne $$a\approx 0{,}845\,7$$ et $$b=11{,}54$$.
Une équation de la droite $$\left(d\right)$$ est donc : $$\red{y=0{,}85x+11{,}54}$$ (coefficients arrondis à $$0{,}01$$ près).
Vérification : pour $$x=3{,}5$$, on obtient $$0{,}85\times 3{,}5+11{,}54=14{,}515$$, soit environ $$14{,}5$$ : aux arrondis près, la droite passe bien par le point moyen $$G\left(3{,}5;14{,}5\right)$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Tracer la droite $$\left(d\right)$$ d'équation $$y=0{,}85x+11{,}54$$ dans le repère du nuage de points.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
La droite $$\left(d\right)$$ passe par le point moyen $$G\left(3{,}5;14{,}5\right)$$.
Pour $$x=7$$ : $$y=0{,}85\times 7+11{,}54=17{,}49$$. On place le point $$A\left(7;17{,}49\right)$$.
On trace la droite $$\left(d\right)$$ passant par $$G$$ et par $$A$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
On suppose que l'ajustement par la droite $$\left(d\right)$$ d'équation $$y=0{,}85x+11{,}54$$ reste valable jusqu'en $$2030$$.
1) Estimer le nombre de consultations en $$2027$$.
2) À partir de quelle année le nombre de consultations dépassera-t-il $$20$$ milliers ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) L'année $$2027$$ correspond au rang $$x=9$$. On remplace $$x$$ par $$9$$ :
$$y=0{,}85\times 9+11{,}54=19{,}19$$
Selon ce modèle, on peut estimer le nombre de consultations à environ $$19\,190$$ en $$2027$$.
2) On résout l'inéquation $$0{,}85x+11{,}54\gt 20$$.
$$0{,}85x+11{,}54\gt 20$$ équivaut successivement à :
$$0{,}85x\gt 20-11{,}54$$
$$0{,}85x\gt 8{,}46$$
$$x\gt \dfrac{8{,}46}{0{,}85}$$
Or $$\dfrac{8{,}46}{0{,}85}\approx 9{,}95$$ : le premier rang entier qui convient est $$x=10$$, qui correspond à l'année $$2028$$.
Selon ce modèle, le nombre de consultations dépassera $$20$$ milliers à partir de $$2028$$.