Problèmes du domaine sanitaire et social - Exercice 2

15 min
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Un pédiatre a relevé la taille d'un enfant à chaque anniversaire, de 22 à 88 ans.
Question 1

Calculer les coordonnées du point moyen GG (ordonnée arrondie à 0,010{,}01 près).

Correction
Le point moyen G(x‾;y‾)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points a pour abscisse la moyenne des xix_{i} et pour ordonnée la moyenne des yiy_{i}.
x‾=2+3+4+5+6+7+87=357\overline{x}=\dfrac{2+3+4+5+6+7+8}{7}=\dfrac{35}{7}
x‾=5\overline{x}=5

y‾=86+95+102+109+116+122+1287=7587\overline{y}=\dfrac{86+95+102+109+116+122+128}{7}=\dfrac{758}{7}
y‾≈108,29\overline{y}\approx 108{,}29

Les coordonnées du point moyen sont : G(5;108,29)G\left(5;108{,}29\right).
Question 2

Déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0,010{,}01 près).

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
À la calculatrice :
y=6,93x+73,64y=6{,}93x+73{,}64

(coefficients arrondis à 0,010{,}01 près)
Question 3

Estimer la taille de l'enfant à 1010 ans.

Correction
y=6,93×10+73,64=142,94y=6{,}93\times 10+73{,}64=142{,}94
y=142,94y=142{,}94

Selon ce modèle, l'enfant mesurerait environ 143143 cm à 1010 ans.
Question 4

Estimer de la même façon sa taille à 3030 ans. Qu'en pensez-vous ?

Correction
y=6,93×30+73,64=281,54y=6{,}93\times 30+73{,}64=281{,}54
Le modèle donne environ 2,822{,}82 m à 3030 ans, ce qui est absurde : la croissance s'arrête à la fin de l'adolescence.
L'ajustement affine n'est valable que pendant la période de croissance étudiée : une extrapolation aussi lointaine n'a pas de sens.

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